Đến nội dung


Hình ảnh

USA TSTST 2017


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 03-07-2017 - 11:01

$$ \huge \text{USA TSTST 2017} $$

 

Ngày thứ nhất 

 

Bài 1. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ nội tiếp đường tròn $\displaystyle \Gamma$ có tâm $\displaystyle O$, và trực tâm $\displaystyle H$. Giả sử $\displaystyle AB\neq AC$ và $\displaystyle \angle A \neq 90^{\circ}$. Gọi $\displaystyle M$ và $\displaystyle N$ lần lượt là trung điểm của $\displaystyle AB$ và $\displaystyle AC$, và $\displaystyle E$ và $\displaystyle F$ lần lượt là chân các đường cao hạ từ $\displaystyle B$ và $\displaystyle C$ của tam giác $\displaystyle ABC$. Gọi $\displaystyle P$ là giao điểm của $\displaystyle MN$ với tiếp tuyến của $\displaystyle \Gamma $ tại $\displaystyle A$. Gọi $\displaystyle Q$ là giao điểm thứ hai của $\displaystyle \Gamma$ với $\displaystyle (AEF)$. Gọi $\displaystyle R$ là giao điểm của $\displaystyle AQ$ và $\displaystyle EF$. Chứng minh rằng $\displaystyle PR \perp OH$. 

 

Bài 2. Ana và Banana đang chơi một trò như sau: Đầu tiên Ana chọn một từ, là dãy khác rỗng các chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh. Sau đó Banana chọn một số tự nhiên $\displaystyle k$ và đố Ana đưa ra một từ có đúng $\displaystyle k$ dãy con bằng với từ của Ana. Ana thắng nếu có thể đưa ra một từ như thế, nếu không, cô ấy sẽ thua. Từ nào mà khi Ana chọn cô ấy sẽ luôn thắng với mọi cách chọn $\displaystyle k$ của Banana? 

 

Bài 3. Xét phương trình $\displaystyle x^2-cx+1 = \dfrac{f(x)}{g(x)}$, ở đây $\displaystyle f$ và $\displaystyle g$ là các đa thức với hệ số thực không âm. Với $\displaystyle c>0$, xác định giá trị nhỏ nhất của $\displaystyle \deg f$ hoặc chứng tỏ $\displaystyle f,g$ không tồn tại. 

 

Ngày thứ hai 

 

Bài 4. Tìm nghiệm tự nhiên của $$\displaystyle 2^a + 3^b + 5^c = n!$$ 

Bài 5. Cho tam giác $\displaystyle ABC$ với tâm nội tiếp $\displaystyle I$. Gọi $\displaystyle D$ là điểm trên cạnh $\displaystyle BC$ và $\displaystyle \omega_B, \displaystyle \omega_C$ lần lượt là đường tròn nội tiếp của các tam giác $\displaystyle ABD, \displaystyle ACD$. Giả sử $\displaystyle \omega_B$ và $\displaystyle \omega_C$ tiếp xúc với đoạn $\displaystyle BC$ lần lượt tại $\displaystyle E$ và $\displaystyle F$. Gọi $\displaystyle P$ là giao điểm của đoạn $\displaystyle AD$ với đường thẳng nối các tâm của $\displaystyle \omega_B$ và $\displaystyle \omega_C$. Gọi $\displaystyle X$ là giao điểm của $\displaystyle BI$ và $\displaystyle CP$, $\displaystyle Y$ là giao điểm của $\displaystyle CI$ và $\displaystyle BP$. Chứng minh $\displaystyle EX$ và $\displaystyle FY$ cắt nhau trên đường tròn nội tiếp của tam giác $\displaystyle ABC$. 

 

Bài 6. Dãy $\displaystyle (a_n)_{n \ge 1}$ các số nguyên dương được gọi là một dãy kiểu Fibonacci nếu $\displaystyle a_{n + 2} = a_{n + 1} + a_n$ với mọi $\displaystyle n \ge 1$. Liệu có thể phân hoạch tập các số nguyên dương thành vô hạn dãy kiểu Fibonacci?

Nguồn: Thầy Nguyễn Trung Tuân 



#2 anhquannbk

anhquannbk

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 357 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:$\textrm{ K17-FIT-HCMUS}$
  • Sở thích:$ \textrm{GEOMETRY} $, $ \textrm{Central Intelligence Agency}$

Đã gửi 03-07-2017 - 13:13

Bài 1: Ta $ RC.RB=RE.RF $ nên $ R $ nằm trên trục đẳng phương của $ (ABC) $ đường tròn $ Euler $ của tam giác.

Dễ thấy $ \triangle APM \sim \triangle NPA $ nên $ PA^2=PM.PN $ tức $ P $ nằm trên trục đẳng phương của $ (ABC) $ đường tròn Euler

từ đó $ PR \perp OH $

Hình gửi kèm

  • 19692424_833326636815956_708596074_n.png

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi anhquannbk: 03-07-2017 - 13:18


#3 leanh9adst

leanh9adst

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Chuyên Lê Hồng Phong-Nam Định
  • Sở thích:Math

Đã gửi 03-07-2017 - 13:15

Bài 1 sử dụng tính chất trục đẳng phương. Gọi J là tâm đường tròn Euler của tam giác ABC. Sau đó dễ dàng chứng minh được P,R có cùng phương tích với (O) và (J) , từ đó có đpcm.

Mặt trời mọc rồi lặn,mặt trăng tròn rồi lại khuyết nhưng ánh sáng mà người thầy rọi vào ta sẽ còn mãi trong cuộc đời!


#4 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 03-07-2017 - 13:36

Câu hình ngày 1:

usatststngay1.png

Các đường tròn $(AQEF),(O),(BEFC)$ cắt nhau đôi một tại các trục đẳng phương $AQ,BC,EF$ nên $AQ,BC,EF$ đồng quy tại $R$.

Gọi $K = OH \cap (AQEF)$.

Dễ thấy $A,M,K,O,N$ đồng viên.

Các đường tròn $(AMK),(EMFN),(AQHF) $ cắt nhau đôi một tại các trục đẳng phương $EF,MN,AK$ nên $EF,MN,AK$ đồng quy tại $S$.

Ta có: $AO \perp EF, AO \perp AP \Rightarrow EF \parallel AP$. Lại thấy $MN$ là đường trung bình của tam giác $ARC$ nên $PS$ đi qua trung điểm $AR$. Mà $AP \parallel RS$ nên $APRS$ là hình bình hành. 

$\Rightarrow  PR \parallel AK$ mà $AK \perp OH \Rightarrow  PR \perp OH$



#5 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1564 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 09-07-2017 - 00:27

Bài 5.

Đầu tiên ta thấy $P$ là tâm vị tự trong của $\omega_B, \omega_C$.$C$ là tâm vị tự ngoài của $\omega_C, (I).$

Do đó theo định lý Monge D'Alambert thì tâm vị tự trong của $\omega_B, (I)$ nằm trên $CP.$

Mà tâm vị tự trong của $\omega_B, (I)$ phải nằm trên $BI$ nên nó chính là $X.$

Tương tự với $Y$ là tâm vị tự trong của $\omega_C, (I).$

$T$ là tiếp điểm của $(I)$ với $BC$ và $S$ đối xứng với $T$ qua $I.$

Do tính chất vị tự của hai đường tròn nên $S, X, E$ thẳng hàng, tương tự $S, Y, F$ thẳng hàng.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 13-07-2017 - 22:32

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#6 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 91 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 10-07-2017 - 22:34

Hello , hello bài 6 nè ;)

 

Ta chứng minh bài 6 là hoàn toàn có thể phân hoạch được nhé. Để đỡ giảm độ hay , mình sẽ chỉ note vài dòng 

 

a) Đáp án là có nhưng lại không phân hoạch được thành hữu hạn bộ được

b) Mỗi số n lại có 1 biểu diễn theo hệ cơ số Fibonnaci ( biểu diễn Zeckendolf )

c) Quy nạp theo số j bất kì 



#7 kimchitwinkle

kimchitwinkle

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THCS
  • 524 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Hà Nội

Đã gửi 19-07-2017 - 15:47

Bài 1 có thể mở rộng theo hướng của bạn Nguyễn Trần Hữu Thịnh đã đăng trên Bài toán hay - Lời giải đẹp - Đam mê toán học ở Facebook như sau:

Bài toán. Cho $\triangle ABC$ nội tiếp đường tròn $\Gamma$ tâm $O$. Một đường tròn đi qua $B$, $C$ cắt $AB$ ,$AC$ lần lượt tại $F$, $E$. $(AEB)$ cắt $(AFC)$ tại $D$. $(DEF)$ cắt $AB$, $AC$ lần thứ hai theo thứ tự tại $M$, $N$. $MN$ cắt tiếp tuyến ở $A$ của $\Gamma$ tại $P$. $(AEF)$ cắt $\Gamma$ tại $Q \neq A$. $AQ$ cắt $EF$ tại $R$. Chứng minh rằng $PR \perp OH$ với $H$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

1.png






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh