Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Cho $X$ là không gian con của $M_{n}(\mathbb{R})$, gồm các ma trận $M = (a_{ij})$ thoả mãn 

\[ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ji} = 0 \,\,\,\, \forall \, j = 1, 2,\dots, n. \]

Chứng minh rằng 

$$\dim X \geq (n-1)^2.$$

[bangbang1412]

Cho $X$ là không gian con của $M_{n}(\mathbb{R})$, gồm các ma trận $M = (a_{ij})$ thoả mãn 

\[ \sum_{i=1}^{n} a_{ij} = \sum_{i=1}^{n} a_{ji} = 0 \,\,\,\, \forall \, j = 1, 2,\dots, n. \]

Chứng minh rằng 

$$\dim X \geq (n-1)^2.$$

Tổng quát cho trường hợp $M( n \times n , \mathbb{R})$ , lấy một ma trận trong $X$ là $A$ 

Do tổng mỗi cột và mỗi hàng là $0$ , ta có thể thấy 

$$a_{mn} = \sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{m-1} a_{ji}$$

Xét ma trận $E_{ij}$ trong đó bằng $0$ ở tất cả trừ vị trí giao của hàng $i$ và cột $j$ . Xét hệ $(m-1)(n-1)$ vecto gồm các vecto có dạng 

$$E_{ij} - E_{in} - E_{mj}+E_{mn}$$ 

Có thể tưởng tượng rằng nó là hình vuông ở hai vị trí trái trên và phải dưới là $1$ và phải trên và trái dưới là $-1$ .

$1)$ Đây là hệ sinh 

Thật vậy có thể chứng minh 

$$\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=1}^{m-1} a_{ij}(E_{ij} - E_{in} - E_{mj} + E_{mn}) = A$$

Ở vị trí $a_{ij}$ trong đó cả hai $i,j \neq m,n$ ( các vị trí khác gọi là biên ) của $A$ ta chỉ xem xét vế trái xem có bao nhiêu vecto khác $0$ tại vị trí $ij$ ,trong $4$ vecto $E_{ij},E_{in},E_{mj},E_{mn}$ đã có ba cái chiếm vị trí biên , để nó khác $0$ tức là chỉ khác $0$ ở vị trí còn lại . Cũng chính là $1$ ở $ij$ , nhân thêm vô hướng $a_{ij}$ nữa là ok . Bây giờ xét các vị trí biên . Các vị trí này cũng chỉ xuất hiện một lần với dấu $-1$ và nhân thêm vô hướng $a_{in}$ hoặc $a_{mj}$ nhưng cả hai vô hướng này có thể biểu diễn 

$$a_{in} = - \sum_{s \neq i , s \leq n-1 } a_{is}$$

$$a_{mj} = -\sum_{s \neq j , s \leq m-1} a_{ms}$$

$$a_{mn} = \sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=1}^{m-1}a_{ji}$$

Vậy nó là một hệ sinh . 

$2)$ Đây là một hệ độc lập tuyến tính . Giả sử ta có biểu thị tuyến tính 

$$\sum a_{ij}(E_{ij}-E_{in}-E_{mj}+E_{mn}) = 0$$

Nhưng bản thân mỗi vecto trong $(m-1)(n-1)$ vector này thuộc $X$ nên nhân vô hướng hoặc cộng đều cho một dạng thuộc $X$ , do đó nó độc lập tuyến tính .

Vậy $\dim X = (m-1)(n-1)$

Một hướng nhìn khác : Với mỗi ma trận trong $X$ thì $X$ là một không gian vecto ứng với $(1,1,...1)^{t}=x , (1,1,...1)=y$ .  Khi đó $X$ là tập tất cả ma trận thỏa mãn $Ax = yA = 0$ khi này $0$ là một giá trị riêng của $A$ nên $\det(A)=0$ , nhưng chưa biết xử lý ntn .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 04-07-2017 - 01:33