Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyenphuctang]

Ngày thi: 3/7/2017. Thời gian làm bài: 210 phút.

1. Cho số thực $a$ và dãy số $\left\{ x_n \right\}$ xác định bởi\[x_1=1, x_2=0, x_{n+2}=\dfrac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a \text{ với mọi } n \geqslant 1\]
        a) Chứng minh rằng với $a=0$ thì dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
        b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
    
2. Cho hai đa thức $P(x)=x^3-4x^2+39x-46$ và $Q(x)=x^3+3x^2+4x-3$.
        a) Chứng minh rằng $P(x)$, $Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt các nghiệm đó lần lượt là $\alpha$, $\beta$.
        b) Chứng minh rằng $\left\{ \alpha \right\} > \left\{ \beta \right\} ^2$, trong đó ký hiệu $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x$.
    
3. Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ (khác đường kính) cố định. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Lấy điểm $S$ đối xứng với $O$ qua $BC$. Lấy điểm $T$ trên $OS$ sao cho $AT$, $AS$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
        a) Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
        b) $TB$, $TC$ cắt $(O)$ ở các điểm thứ hai $E$, $F$ tương ứng. $AE$, $AF$ lần lượt cắt $BC$ ở $M$, $N$. $SM$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ ở $X$, $SN$ cắt tiếp tuyến của $B$ tại $B$ ở $Y$. Chứng minh $AX$, $AY$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
    
4. Có một nhóm $n \quad (n\geqslant 4)$ người thoả mãn điều kiện
   i) $2$ người quen nhau thì không có người quen chung.
   ii) $2$ người không quen nhau thì có đúng $2$ người quen chung.
   
        a) Chứng minh $8n-7$ chính phương.
        b) Tìm $n$ nhỏ nhất thoả đề bài.

Nguồn: Thầy Trần Nam Dũng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 18-07-2017 - 00:48

[redfox]

Bài 4: Dễ thấy một người có ít nhất $2$ người quen.

Lấy một người $A$ bất kì. Gọi tập các cặp hai người quen với $A$ là $X$, các người không quen với $A$ là $Y$. Xét ánh xạ $f:X\rightarrow Y$ như sau:

Xét cặp $(B,C)$ quen $A$, ta có $B,C$ không quen nhau (i) nên tồn tại đúng một người $D$ khác $A$ quen $B,C$ (ii). Ta lấy $f(B,C)=D$

Ta có $D$ không quen $A$ (i) nên $A,D$ có đúng $2$ người quen chung (ii) chính là $B,C$, vậy chỉ có một cặp $(B,C)$ sao cho $f(B,C)=D$ nên $f$ là đơn ánh.

Xét $D$ bất kì không quen $A$, $A,D$ có đúng $2$ người quen chung (ii), ta gọi là $(B,C)$, dễ thấy $f(B,C)=D$ nên $f$ là toàn ánh.

Vậy $f$ là song ánh nên $X$=$Y$. Gọi số người quen $A$ là $k$, ta có $\left | Y \right |=\left | X \right |=\frac{k(k-1)}{2}\Rightarrow n=\left | Y \right |+k+1= \frac{k^2+k+2}{2}\Rightarrow 8n-7=(2k+1)^2$.

(Q.E.D)

Từ công thức trên và $n>4$ ta có $k\geq 3$.

Với $k=3$ ta có $n=7$, mỗi người quen đúng $3$ người khác nên số cặp quen nhau là $\frac{3.7}{2}=11,5$ (vô lý).

Với $k=4$, ta có $n=11$, giả sử người $1$ quen $2,3,4,5$, không quen $6,7,8,9,10,11$. Giả sử $f^{-1}(6)=(2,3)$. Vì $6$ quen $k=4$ người và không quen $1,4,5$ nên $6$ quen $2$ người trong $7,8,9,10,11$. Những người quen $2$ hoặc $3$ không quen với $6$ (i), vậy chỉ có duy nhất một người $f(4,5)$ có thể quen $6$ (vô lý vì $6$ quen $2$ người).

Với $k=5$, ta có $n=16$, ví dụ: người $1$ quen $2,3,4,5,6$, không quen $7,8,9,10,11,12,13,14,15,16$. Gán mỗi người không quen $1$ bất kì cặp $(a,b)$, người đó sẽ quen $1,a,b$ và những người được gán cặp $(c,d)$ ($c,d$ đều khác $a,b$). Vậy $n=16$.

[dogsteven]

Bài 3.

(a) Gọi $A_1, A_2$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $Z$ là trung điểm $OB$

Khi đó $OT.OS=2OZ.OB=OB^2\Rightarrow (A_1A_2,ST)=-1$

(b) Dễ thấy $AE, AF$ đối xứng nhau qua phân giác góc $A$, $EF || BC$

Ta có $BA_1$ là phân giác góc $TBS$ mà $BA_1$ là phân giác góc $TBF$ nên $SB$ đi qua $F$, tương tự $SC$ đi qua $E$

Áp dụng định lý Pascal cho $CCBFAE$ ta được $X\in AF$, tương tự $Y\in AE$

[truongkontum]

Bài 3.

(a) Gọi $A_1, A_2$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $Z$ là trung điểm $OB$

Khi đó $OT.OS=2OZ.OB=OB^2\Rightarrow (A_1A_2,ST)=-1$

(b) Dễ thấy $AE, AF$ đối xứng nhau qua phân giác góc $A$, $EF || BC$

Ta có $BA_1$ là phân giác góc $TBS$ mà $BA_1$ là phân giác góc $TBF$ nên $SB$ đi qua $F$, tương tự $SC$ đi qua $E$

Áp dụng định lý Pascal cho $CCBFAE$ ta được $X\in AF$, tương tự $Y\in AE$

Anh làm rõ hơn đc ko ạ,em chưa hiểu lắm.

@halloffame: bạn nói cụ thể là bạn chưa hiểu chỗ nào giúp mình nhé!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 16-07-2017 - 17:21