Đến nội dung


Thông báo


Thời gian vừa qua chức năng nhập mã an toàn lúc đăng kí thành viên của diễn đàn đã hoạt động không ổn định, do đó có nhiều bạn đã không thể đăng kí thành viên. Hiện nay vấn đề này đã được giải quyết. Ban Quản Trị chân thành xin lỗi những thành viên đã gặp trục trặc lúc đăng kí.


Hình ảnh

Đề OLYMPIC GẶP GỠ TOÁN HỌC 2017 KHỐI 12


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 04-07-2017 - 07:09

Ngày thi: 3/7/2017. Thời gian làm bài: 210 phút.

  1. Cho số thực $a$ và dãy số $\left\{ x_n \right\}$ xác định bởi\[x_1=1, x_2=0, x_{n+2}=\dfrac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a \text{ với mọi } n \geqslant 1\]
         a) Chứng minh rằng với $a=0$ thì dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
         b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
     
  2. Cho hai đa thức $P(x)=x^3-4x^2+39x-46$ và $Q(x)=x^3+3x^2+4x-3$.
         a) Chứng minh rằng $P(x)$, $Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt các nghiệm đó lần lượt là $\alpha$, $\beta$.
         b) Chứng minh rằng $\left\{ \alpha \right\} > \left\{ \beta \right\} ^2$, trong đó ký hiệu $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x$.
     
  3. Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ (khác đường kính) cố định. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Lấy điểm $S$ đối xứng với $O$ qua $BC$. Lấy điểm $T$ trên $OS$ sao cho $AT$, $AS$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
         a) Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
         b) $TB$, $TC$ cắt $(O)$ ở các điểm thứ hai $E$, $F$ tương ứng. $AE$, $AF$ lần lượt cắt $BC$ ở $M$, $N$. $SM$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ ở $X$, $SN$ cắt tiếp tuyến của $B$ tại $B$ ở $Y$. Chứng minh $AX$, $AY$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
     
  4. Có một nhóm $n \quad (n\geqslant 4)$ người thoả mãn điều kiện
    i) $2$ người quen nhau thì không có người quen chung.
    ii) $2$ người không quen nhau thì có đúng $2$ người quen chung.

         a) Chứng minh $8n-7$ chính phương.
         b) Tìm $n$ nhỏ nhất thoả đề bài.

Nguồn: Thầy Trần Nam Dũng


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 18-07-2017 - 00:48


#2 redfox

redfox

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 100 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 04-07-2017 - 16:12

Bài 4: Dễ thấy một người có ít nhất $2$ người quen.

Lấy một người $A$ bất kì. Gọi tập các cặp hai người quen với $A$ là $X$, các người không quen với $A$ là $Y$. Xét ánh xạ $f:X\rightarrow Y$ như sau:

Xét cặp $(B,C)$ quen $A$, ta có $B,C$ không quen nhau (i) nên tồn tại đúng một người $D$ khác $A$ quen $B,C$ (ii). Ta lấy $f(B,C)=D$

Ta có $D$ không quen $A$ (i) nên $A,D$ có đúng $2$ người quen chung (ii) chính là $B,C$, vậy chỉ có một cặp $(B,C)$ sao cho $f(B,C)=D$ nên $f$ là đơn ánh.

Xét $D$ bất kì không quen $A$, $A,D$ có đúng $2$ người quen chung (ii), ta gọi là $(B,C)$, dễ thấy $f(B,C)=D$ nên $f$ là toàn ánh.

Vậy $f$ là song ánh nên $X$=$Y$. Gọi số người quen $A$ là $k$, ta có $\left | Y \right |=\left | X \right |=\frac{k(k-1)}{2}\Rightarrow n=\left | Y \right |+k+1= \frac{k^2+k+2}{2}\Rightarrow 8n-7=(2k+1)^2$.

(Q.E.D)

Từ công thức trên và $n>4$ ta có $k\geq 3$.

Với $k=3$ ta có $n=7$, mỗi người quen đúng $3$ người khác nên số cặp quen nhau là $\frac{3.7}{2}=11,5$ (vô lý).

Với $k=4$, ta có $n=11$, giả sử người $1$ quen $2,3,4,5$, không quen $6,7,8,9,10,11$. Giả sử $f^{-1}(6)=(2,3)$. Vì $6$ quen $k=4$ người và không quen $1,4,5$ nên $6$ quen $2$ người trong $7,8,9,10,11$. Những người quen $2$ hoặc $3$ không quen với $6$ (i), vậy chỉ có duy nhất một người $f(4,5)$ có thể quen $6$ (vô lý vì $6$ quen $2$ người).

Với $k=5$, ta có $n=16$, ví dụ: người $1$ quen $2,3,4,5,6$, không quen $7,8,9,10,11,12,13,14,15,16$. Gán mỗi người không quen $1$ bất kì cặp $(a,b)$, người đó sẽ quen $1,a,b$ và những người được gán cặp $(c,d)$ ($c,d$ đều khác $a,b$). Vậy $n=16$.



#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1567 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 04-07-2017 - 17:10

Bài 3.

(a) Gọi $A_1, A_2$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $Z$ là trung điểm $OB$

Khi đó $OT.OS=2OZ.OB=OB^2\Rightarrow (A_1A_2,ST)=-1$

(b) Dễ thấy $AE, AF$ đối xứng nhau qua phân giác góc $A$, $EF || BC$

Ta có $BA_1$ là phân giác góc $TBS$ mà $BA_1$ là phân giác góc $TBF$ nên $SB$ đi qua $F$, tương tự $SC$ đi qua $E$

Áp dụng định lý Pascal cho $CCBFAE$ ta được $X\in AF$, tương tự $Y\in AE$


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 truongkontum

truongkontum

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 3 Bài viết

Đã gửi 16-07-2017 - 09:52

Bài 3.

(a) Gọi $A_1, A_2$ là điểm chính giữa cung $BC$ của $(O)$ và $Z$ là trung điểm $OB$

Khi đó $OT.OS=2OZ.OB=OB^2\Rightarrow (A_1A_2,ST)=-1$

(b) Dễ thấy $AE, AF$ đối xứng nhau qua phân giác góc $A$, $EF || BC$

Ta có $BA_1$ là phân giác góc $TBS$ mà $BA_1$ là phân giác góc $TBF$ nên $SB$ đi qua $F$, tương tự $SC$ đi qua $E$

Áp dụng định lý Pascal cho $CCBFAE$ ta được $X\in AF$, tương tự $Y\in AE$

Anh làm rõ hơn đc ko ạ,em chưa hiểu lắm.

@halloffame: bạn nói cụ thể là bạn chưa hiểu chỗ nào giúp mình nhé!


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi halloffame: 16-07-2017 - 17:21





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh