Ngày thi: 3/7/2017. Thời gian làm bài: 210 phút.
- Cho số thực $a$ và dãy số $\left\{ x_n \right\}$ xác định bởi\[x_1=1, x_2=0, x_{n+2}=\dfrac{x_n^2+x_{n+1}^2}{4}+a \text{ với mọi } n \geqslant 1\]
a) Chứng minh rằng với $a=0$ thì dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
b) Tìm số thực $a$ lớn nhất sao cho dãy $\left\{ x_n \right\}$ hội tụ.
- Cho hai đa thức $P(x)=x^3-4x^2+39x-46$ và $Q(x)=x^3+3x^2+4x-3$.
a) Chứng minh rằng $P(x)$, $Q(x)$ đều có các nghiệm dương duy nhất, đặt các nghiệm đó lần lượt là $\alpha$, $\beta$.
b) Chứng minh rằng $\left\{ \alpha \right\} > \left\{ \beta \right\} ^2$, trong đó ký hiệu $\left\{ x \right\}$ là phần lẻ của số thực $x$.
- Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $BC$ (khác đường kính) cố định. Điểm $A$ di chuyển trên cung lớn $BC$. Lấy điểm $S$ đối xứng với $O$ qua $BC$. Lấy điểm $T$ trên $OS$ sao cho $AT$, $AS$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
a) Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC$.
b) $TB$, $TC$ cắt $(O)$ ở các điểm thứ hai $E$, $F$ tương ứng. $AE$, $AF$ lần lượt cắt $BC$ ở $M$, $N$. $SM$ cắt tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ ở $X$, $SN$ cắt tiếp tuyến của $B$ tại $B$ ở $Y$. Chứng minh $AX$, $AY$ đối xứng với nhau qua phân giác góc $BAC$.
- Có một nhóm $n \quad (n\geqslant 4)$ người thoả mãn điều kiện
i) $2$ người quen nhau thì không có người quen chung.
ii) $2$ người không quen nhau thì có đúng $2$ người quen chung.
a) Chứng minh $8n-7$ chính phương.
b) Tìm $n$ nhỏ nhất thoả đề bài.
Nguồn: Thầy Trần Nam Dũng
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 18-07-2017 - 00:48