Đến nội dung

Hình ảnh

$B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}$

bất đẳng thức và cực trị

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
Sketchpad3356

Sketchpad3356

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 34 Bài viết

Bài toán 1: Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $xy+yz+zx>0$. Tìm $Min$ của biểu thức:

$A=\frac{1}{\sqrt{x(y+z)+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{y(x+4z)}}+4\sqrt{z+1}+2\sqrt{x+2y+4}$

Bài toán 2: Cho $x,y,z>0$, $x\geq z$. Tìm $Max$ của:$B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}$

 



#2
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài toán 2: Cho $x,y,z>0$, $x\geq z$. Tìm $Max$ của:$B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}$

Ta có: $B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{z})^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z}{y})^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{z}}}$

Đặt $(\frac{y}{x};\frac{z}{y};\frac{x}{z})=(a;b;c)$$\Rightarrow abc=1$

Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$, $c\geq 1$. Tìm $MAX$ của $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}$

Vì $abc=1$ và  $c\geq 1$$\Rightarrow ab\leq 1$

Có BĐT khá cơ bản: $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$ khi $ab\leq 1$

$\Rightarrow B\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{c}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}=\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}$

Khảo sát hàm số: $\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}$ trên $[1;+\infty )$

Ta được: $\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}\leq \sqrt{5}$

Vậy $MAX$ của $B$ là $\sqrt{5}$. Đạt tại: $c=4$ $\Leftrightarrow x=4z=2y$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 04-07-2017 - 12:38

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#3
Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết

Bài toán 1: Cho $x,y,z\geq 0$ thỏa mãn $xy+yz+zx>0$. Tìm $Min$ của biểu thức:

$A=\frac{1}{\sqrt{x(y+z)+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{y(x+4z)}}+4\sqrt{z+1}+2\sqrt{x+2y+4}$

Ta có: $A=2(\sqrt{4z+4}+\sqrt{x+2y+4})+\frac{1}{\sqrt{x(y+z)+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{y(x+4z)}}$

Đặt $P=\sqrt{4z+4}+\sqrt{x+2y+4};Q=\frac{1}{\sqrt{x(y+z)+2z^2}}+\frac{1}{\sqrt{y(x+4z)}}$

$\Rightarrow A=2P+Q$

Ta có BĐT phụ: $\sqrt{a+4}+\sqrt{b+4}\geq 2+\sqrt{4+a+b}$

$\Rightarrow P\geq 2+\sqrt{x+2y+4z+4}\geq 2+\sqrt{x+2y+3z+4}$

Lại có: $Q\geq \frac{2}{\sqrt[4]{(xy+xz+2z^2)(yx+4zy)}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2xy+xz+2z^2+4zy}}\geq \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{(x+2z)(z+2y)}}\geq \frac{4\sqrt{2}}{x+2y+3z}$

Đặt $k=x+2y+3z$$\Rightarrow A\geq 2(2+\sqrt{4+k})+\frac{4\sqrt{2}}{k}$

Khảo sát hàm: $f(k)=2(2+\sqrt{4+k})+\frac{4\sqrt{2}}{k}$ 

Ta được: $2(2+\sqrt{4+k})+\frac{4\sqrt{2}}{k}\geq 4+5\sqrt{2}$

Vậy $Min$ của $A$ là $4+5\sqrt{2}$. Đạt tại: $k=4$$\Leftrightarrow x=2;y=1;z=0$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 04-07-2017 - 12:34

Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh