Bài toán 2: Cho $x,y,z>0$, $x\geq z$. Tìm $Max$ của:$B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}$
Ta có: $B=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}=\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{y}{z})^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+(\frac{z}{y})^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{x}{z}}}$
Đặt $(\frac{y}{x};\frac{z}{y};\frac{x}{z})=(a;b;c)$$\Rightarrow abc=1$
Bài toán trở thành: Cho $a,b,c>0$, $c\geq 1$. Tìm $MAX$ của $P=\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}$
Vì $abc=1$ và $c\geq 1$$\Rightarrow ab\leq 1$
Có BĐT khá cơ bản: $\frac{1}{\sqrt{1+a^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}}\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}$ khi $ab\leq 1$
$\Rightarrow B\leq \frac{2}{\sqrt{1+ab}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{c}}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}=\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}$
Khảo sát hàm số: $\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}$ trên $[1;+\infty )$
Ta được: $\frac{2\sqrt{c}+1}{\sqrt{1+c}}\leq \sqrt{5}$
Vậy $MAX$ của $B$ là $\sqrt{5}$. Đạt tại: $c=4$ $\Leftrightarrow x=4z=2y$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 04-07-2017 - 12:38