Chủ đề này có 1 trả lời

[01634908884]

Giải hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} & x^{y}=(y+1)^{x}\frac{1}{x} & \\ &1+\sqrt{-4x^{2}+18x-20}=\sqrt{y+1}+\frac{2}{2x^{2}-9x+8} & \end{matrix}\right.$

[shinichigl]

Đặt $\sqrt{y+1}=b$; $\sqrt{-4x^{2}+18x-20}=a$

Từ đó ta có: $b> 0$; $a\geq 0$; $2\leq x\leq 2.5$

Từ phương trình đầu tiên ta có:

$1+a=b-\frac{4}{a^{2}+4}$

$\Leftrightarrow b=\frac{a^{3}+a^{2}+4a+8}{a^{2}+4}$

$\Rightarrow b\geq \frac{8}{4}=2$ hay $b^{2}\geq 4$

(Do hàm số $f(a)=\frac{a^{3}+a^{2}+4a+8}{a^{2}+4}$ là hàm đồng biến trên tập xác định (tính đạo hàm ra sẽ thấy))

Từ phương trình thứ hai ta có:

$x^{b^{2}}=\left ( b^{2} \right )^{x}$

$\Leftrightarrow ln\left ( x^{b^{2}} \right )=ln\left ( \left ( b^{2} \right )^{x} \right )$

$\Leftrightarrow b^{2}ln(x)=xln(b^{2})$

$\Leftrightarrow \frac{ln(x)}{x}=\frac{ln\left ( b^{2} \right )}{b^{2}}$

Xét $f(t)=\frac{ln(t)}{t}$ $(t> 0)$

$f'(t)=\frac{1-ln(t)}{t^{2}}$

Từ đó ta có:

Với $0<t<e$ thì $f(t)$ đồng biến

Với $t>e$ thì $f(t)$ nghịch biến

Suy ra: 

$\frac{ln(x)}{x}\geq \frac{ln(2)}{2}$ và $\frac{ln(b^{2})}{b^{2}}\leq  \frac{ln(4)}{4}=\frac{ln(2)}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi: $b=2$; $x=2$ hay $y=3$; $x=2$ (*)

Thay (*) vào phương trình thứ nhất ta thấy thõa mãn

Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm là $\left (x;y \right )=\left ( 2;3 \right )$