Đến nội dung

Hình ảnh

$\mathbb{Hom}(V,W) \cong \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*})$

- - - - - dual vecto space

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

Cho $W,V$ là hai không gian vecto trên trường $\mathbb{K}$ , chứng minh rằng ánh xạ : 

$$\phi : \mathbb{Hom}(V,W) \rightarrow   \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*})$$

$$f \mapsto f*$$ 

Là đẳng cấu tuyến tính . Trong đó $f*$ là ánh xạ đối ngẫu của $f$ ở đây $W^{*} = \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K})$ . Bài này nhẹ nhàng mà hay . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 04-07-2017 - 23:49

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Giả sử $V,W$ hữu hạn chiều.

Lấy bất kì $p \in W^*$, ta có $p$ là phiếm hàm tuyến tính, $p: W \to \mathbb{K}$. Lấy $f \in \mathbb{Hom}(V,W)$, ta có $f$ là ánh xạ tuyến tính $f: V \to W$. Do đó:

$$\phi (f) (p) = p \circ f : V \to \mathbb{K}$$

Vậy $\phi (f) (p) \in V^*$. Do đó quy tắc đã cho là 1 ánh xạ.

 

Ta cần chứng minh:

 

1) $\phi$ là ánh xạ tuyến tính. Cái này dễ thấy. Vậy $\phi$ là một đồng cấu.

 

2) $\phi$ là đơn cấu.Thật vậy, $\forall f \in \mathbb{Hom}(V,W), f \neq 0$, $\exists v \in V $ sao cho $f(v) \in W$ và $f(v) \neq 0$, $p=(f(v))^* $ là một phiếm hàm tuyến tính:

$$(f(v))^* \circ (f(v))= 1 \Rightarrow   p \circ f \neq 0 \Rightarrow   \phi(f)(p) \neq 0$$

Vậy $Ker \phi = \{ 0 \}$. Do đó $\phi$ là đơn cấu.

 

3) $\phi$ là toàn cấu. Ta có:

$$\dim \mathbb{Hom}(V,W)=\dim V \times \dim W=\dim V^*\times\dim W^*=\dim\mathbb{Hom}(W^*,V^*)$$

Vậy $\phi$ là toàn cấu.

 

Do đó, $\phi$ là đẳng cấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
bangbang1412

bangbang1412

    Độc cô cầu bại

  • Phó Quản lý Toán Cao cấp
  • 1667 Bài viết

 

Anh ghi lại đoạn $2$ rõ hơn tý được không anh ? 

Ở đây ta chỉ xét $V,W$ hữu hạn chiều , giả sử $\dim W = n$ , ta thấy :

$$\dim \mathbb{Hom}(V,W) = \dim \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*}) = \dim V \times \dim W$$

Nên ta chỉ cần chứng minh $\phi$ là một đơn cấu , giả sử tồn tại $f : V \to W$ sao cho

$$\phi(f) = f^{*} = 0 : \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K}) \to \mathbb{Hom}(V,\mathbb{K})$$

Tức là : 

$$\forall g \in \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K}) , f^{*}(g)(\alpha) = g(f(\alpha)) = 0 \forall \alpha \in V , g \in \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K})$$

Giả sử $f(\alpha) \neq 0$ khi đó nó độc lập tuyến tính trong $W$ , bổ sung để được cơ sở

$$(f(\alpha),\beta_{2},... \beta_{n})$$ 

Gọi $x_{1},x_{2},....x_{n}$ là $n$ vecto tùy ý khác $0$ trong $\mathbb{K}$ , khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính : 

$$h : W \to K$$

$$h(f(\alpha))=x_{1},h(\beta_{i}) = x_{i}$$ 

Vậy điều này vô lý tức là $f(\alpha)=0$ . Ta có $f \equiv 0$ hay $\phi$ là đơn cấu . 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-07-2017 - 08:25

$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$


#4
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

2)

Cho $f: V \to \mathbb{K}$ là phiếm hàm tuyến tính không suy biến. Khi đó tồn tại $v \in V $ sao cho $f(v) = 1$. Thật vậy, do $f$ không suy biến nên tồn tại $u \in V$ sao cho $f(u) = \lambda \neq 0$. Chọn $v = \frac{1}{\lambda} u$ ta có $f(v) = 1$.

$\forall f \in \mathbb{Hom}(V,W), f \neq 0$, $\exists v \in V $ sao cho $f(v) \in W$ và $f(v) \neq 0$. 

Mặt khác $p=(f(v))^* : W \to \mathbb{K}$ là một phiếm hàm tuyến tính không suy biến nên $p|_{f(V)}:f(V) \to \mathbb{K}$ cũng là phiếm hàm tuyến tính không suy biến. Do đó  có thể chọn được $v$ sao cho:

$$p(f(v)) = 1 \Rightarrow (f(v))^* \circ (f(v))= 1 \Rightarrow   p \circ f \neq 0 \Rightarrow   \phi(f)(p) \neq 0$$

Vậy $Ker \phi = \{ 0 \}$. Do đó $\phi$ là đơn cấu.


1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh