Anh ghi lại đoạn $2$ rõ hơn tý được không anh ?
Ở đây ta chỉ xét $V,W$ hữu hạn chiều , giả sử $\dim W = n$ , ta thấy :
$$\dim \mathbb{Hom}(V,W) = \dim \mathbb{Hom}(W^{*},V^{*}) = \dim V \times \dim W$$
Nên ta chỉ cần chứng minh $\phi$ là một đơn cấu , giả sử tồn tại $f : V \to W$ sao cho
$$\phi(f) = f^{*} = 0 : \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K}) \to \mathbb{Hom}(V,\mathbb{K})$$
Tức là :
$$\forall g \in \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K}) , f^{*}(g)(\alpha) = g(f(\alpha)) = 0 \forall \alpha \in V , g \in \mathbb{Hom}(W,\mathbb{K})$$
Giả sử $f(\alpha) \neq 0$ khi đó nó độc lập tuyến tính trong $W$ , bổ sung để được cơ sở
$$(f(\alpha),\beta_{2},... \beta_{n})$$
Gọi $x_{1},x_{2},....x_{n}$ là $n$ vecto tùy ý khác $0$ trong $\mathbb{K}$ , khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính :
$$h : W \to K$$
$$h(f(\alpha))=x_{1},h(\beta_{i}) = x_{i}$$
Vậy điều này vô lý tức là $f(\alpha)=0$ . Ta có $f \equiv 0$ hay $\phi$ là đơn cấu .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 05-07-2017 - 08:25