Chủ đề này có 6 trả lời

[Element hero Neos]

Bài 1

Tìm $maxP=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y\neq0\\ xy(x+y)=x^2-xy+y^2 \end{matrix}\right.$

Bài 2

Tìm $minP=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y>0\\ x+y\leq 1 \end{matrix}\right.$

p/s: hóng lời giải dùng hàm số.

[slenderman123]

Câu 2: 

$P=\frac{x^{2}+xy+y^{2}}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy} \geqslant x+y-\frac{xy}{x+y}+\frac{4}{x+y}+\frac{3}{xy}=\frac{\frac{1}{4}-xy}{x+y}+\frac{\frac{11}{4}}{x+y}+(x+y+\frac{1}{x+y})+\frac{3}{xy}\geq \frac{67}{4}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 05-07-2017 - 20:48

[slenderman123]

$xy(x+y)=x^{2}-xy+y^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{xy}+\frac{1}{y^{2}}\Leftrightarrow \frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}=(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}(1)$

Lại có $4(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})= (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}+3(\frac{1}{x}-\frac{1}{y})^{2}\geq (\frac{1}{x}+\frac{1}{y})^{2}\Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq 4(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, suy ra $\frac{1}{x^{3}}+\frac{1}{y^{3}}\leq 16$$\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 05-07-2017 - 21:08

[viet9a14124869]

Mình chưa biết dùng hàm số nhưng cũng chém tạm vậy

Câu 1

Ta đặt x+y=a . Do $xy(x+y)=x^2-xy+y^2\Rightarrow xy(x+y+3)=(x+y)^2\Rightarrow xy =\frac{a^2}{a+3}$

Dùng Cauchy thì $\frac{a^2}{a+3}=xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{a^2}{4}$ $\Rightarrow a\geq 1$

Mặt khác $P = \frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}=\frac{(x+y)(x^2-xy+y^2)}{x^3y^3}=\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}=\frac{a^2}{\frac{a^4}{(a+3)^2}}=\frac{(a+3)^2}{a^2}$

Ta sẽ chứng minh max=16 , thật vậy $16-P = \frac{(a-1)(15a+9)}{a^2}\geq 0$ .

Dấu = xảy ra khi x = y = $\frac{1}{2}$ . 

 

Lâu không làm bất thấy mình kém bất quá rồi sai chỗ nào các bác cứ gạch đá thoải mái

[iloveyouproht]

Bài 1

Tìm $maxP=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y\neq0\\ xy(x+y)=x^2-xy+y^2 \end{matrix}\right.$

Bài 2

Tìm $minP=\frac{x^2+xy+y^2}{x+y}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y>0\\ x+y\leq 1 \end{matrix}\right.$

p/s: hóng lời giải dùng hàm số.

1. ( cách khác )

[Hoang Dinh Nhat]

 

 

Hàm số đây

 

Bài 2: Từ giả thiết ta có: $xy\leq \frac{1}{4}$

Đồng thời ta có: $x^2+xy+y^2\geq \frac{3(x+y)^2}{4}$

$P\geq \frac{3(x+y)}{4}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{3}{xy}\geq \frac{6\sqrt{xy}}{4}+\frac{2}{\sqrt{xy}}+\frac{3}{xy}$

Đặt $\sqrt{xy}=t(0< t\leq \frac{1}{2})$

Xét hàm: $f(t)=\frac{6t}{4}+\frac{2}{t}+\frac{3}{t^2}$ trên đoạn $0< t\leq \frac{1}{2}$

Ta thấy $f'(t)=-\frac{6}{t^3}-\frac{2}{t^2}+\frac{3}{2}<0$ với $0<t\leq \frac{1}{2}$

$\Rightarrow f(t)\geq f(\frac{1}{2})=\frac{67}{4}$

Dấu '=' xảy ra khi: $x=y=\frac{1}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 05-07-2017 - 21:59

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 1

Tìm $maxP=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$ biết $\left\{\begin{matrix} x,y\neq0\\ xy(x+y)=x^2-xy+y^2 \end{matrix}\right.$

 

Ta có BĐT phụ: $x^2-xy+y^2\geq \frac{1}{4}(x+y)^2$$\Rightarrow xy(x+y)=x^2-xy+y^2\geq \frac{1}{4}(x+y)^2\Rightarrow 4xy\geq (x+y)$

Ta có: $P=\frac{1}{x^3}+\frac{1}{y^3}$$=\frac{(x+y)^2}{x^2y^2}\leq \frac{(x+y)^2}{\frac{(x+y)^2}{16}}=16$

Dấu ''='' xảy ra khi: $x=y=0,5$