Chủ đề này có 8 trả lời

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 400}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, $I$ là trung điểm cạnh $BC$. Phân giác trong $AD$  ($D$ trên cạnh $BC$),hai điểm $P,Q$ trên cạnh $AD$ thoả mãn $\angle CBP=\angle ABQ$. $M$ là hình chiếu của $Q$ trên $BC$, $N$ đối xứng với $I$ qua $AD$. Chứng minh $MN \perp OP$

 

$\boxed{\text{Bài toán 401}}$

Cho $a_{1}, a_{2},..., a_{n}\in \mathbb{R}$ thỏa mãn:

$a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\geq n^{2}$

$a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}\leq n^{3}+1$

Chứng minh: $n-1\leq a_{k}\leq n+1 \forall 1\leq k\leq n$

 

$\boxed{\text{Bài toán 402}}$

Cho các đường tròn $(O_{1};R_{1});(O_{2};R_{2})$ sao cho tiếp tuyến chung ngoài $M_{1}M_{2}$ vuông góc với tiếp tuyến chung trong $N_{1}N_{2}$ tại A. Gọi tiếp tuyến chung trong thứ hai là $P_{1}P_{2}$ (các tiếp điểm $M_{1};N_{1};P_{1}\in (O_{1})$ và các tiếp điểm $M_{2};N_{2};P_{2}\in (O_{2})$). Tính diện tích $\Delta AP_{1}P_{2}$ theo $R_{1};R_{2}$. 

 

$\boxed{\text{Bài toán 403}}$

 

Cho tam giác $ABC$. Một điểm O nằm trong tam giác thỏa mãn $OA= OB + OC$. Gọi $Y,Z$ lần lượt là điểm chính giữa các cung $AOC$ và $AOB$ của đường tròn ngoại tiếp các tam giác AOC và $AOB$. Chứng minh rằng: $(BOY)$ tiếp xúc với $(COZ)$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 404}}$

Cho $a_1;a_2;...;a_n$ là dãy các số nguyên không âm. Với $k=1,2,....,n$,đặt $ m_k =\max_{1\le l\le k}\frac{a_{k-l+1}+a_{k-l+2}+\cdots+a_k}{l}. $

Chứng minh rằng với mỗi $\alpha>0$,số giá trị của $k$ thỏa mãn $m_k>\alpha$ luôn bé hơn $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{\alpha}$

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 405}}$

Khảo sát sự hội tụ của dãy số $x_n$ với

$$\begin{cases}x_0 \geq 0 \\ x_{n+1}=\frac{6}{2+x_n^2} \end{cases} \ \ \ n \geq 0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 406}}$

Cho $P(x)\in \mathbb{Z}[x], \text{deg}P\geq 2$.

CMR: Tồn tại $m\in \mathbb{Z^+}$ để $P(m!)$ là hợp số.

 

$\boxed{\text{Bài toán 407}}$

Cho hai tam giác $ABC$ ($AB=AC$) và $DEF$ ($DE=DF$) trong đó $B$, $C$, $E$, $F$ thẳng hàng, $BC>EF$. Hãy vẽ một đường thẳng song song với $BC$ sao cho hai đoạn thẳng bị hai cạnh bên của mỗi tam giác cắt ra là bằng nhau.

 

$\boxed{\text{Bài toán 408}}$

CMR với mọi $x\in \mathbb{R}$ ta luôn có:$3\leq 2^{\left | \sin x \right |}+2^{\left | \cos x \right |}\leq 2^{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 409}}$

Xét khai triển hàm số sau:

$$f_{k}(x)=1-\frac{x^2}{k}+\frac{x^4}{2!k(k+1)}-\frac{x^6}{3!k(k+1)(k+2)}+....$$
Chứng minh với mỗi số thực $x$,ta có $\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$.

$\boxed{\text{Bài toán 410}}$

Chứng minh: $[kx]+[x+\frac{k}{k+1}]= [kx+x]$ ( $k\epsilon \mathbb{N}$)

 

$\boxed{\text{Bài toán 411}}$

Một tỷ phú có $100$ chiếc xe hơi đắt tiền.Cứ mỗi ngày anh ta chọn ngẫu nhiên một chiếc để sử dụng.

Tính xác suất để trong $100$ ngày liên tiếp có ít nhất $30$ chiếc xe được chọn từ $2$ lần trở lên ?

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 412}}$

Cho các số thực $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0$

Thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{100}\geq 0 \\ a_{1}+a_{2}\leq 2002\\a_{3}+a_{4}+...+a_{100}\leq 2002  \end{array} \right.$

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $S=a{_{1}}^{2}+a{_{2}}^{2}+...+a{_{100}}^{2}$.Tìm các số $a_{1},a_{2},...a_{100}$ tương ứng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 413}}$

Cho tam giác $ABC$. Chứng minh luôn tồn tại một tam giác đều có các trung tuyến đi qua các đỉnh tam giác $ABC$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 414}}$

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?

 

$\boxed{\text{Bài toán 415}}$

Cho dãy số thực $x_{n}$ được xác định bởi: $x_{0}=1,x_{n+1}=2+\sqrt{x_{n}}-2\sqrt{1+\sqrt{x_{n}}}\forall n\epsilon N$

Ta xác định dãy $y_{n}$ bởi công thức $y_{n}=\sum_{i=1}^{n}x_{i}.2^{i},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm công thức tổng quát của dãy $y_{n}$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 416}}$

Cho đa giác lồi $A_{1}A_{2}...A_{n}$, O là tâm tỉ cự hệ điểm $(A_{1};A_{2};...;A_{n})$ với hệ số (1;1;...;1). Đặt $d=OA_{1}+OA_{2}+...+OA_{n}$; p là chu vi đa giác.

CMR: 

+) Nếu n chẵn thì $\frac{4}{n}d\geq p$

+) Nếu n lẻ thì $p\geq \frac{4nd}{n-1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 417}}$

Cho đường tròn (O;13) và hai dây cung AB, CD cố định ko cắt nhau. Xét điểm I trên đoạn CD. Cho AI, BI cắt (O) tại E, F. AF, BE cắt CD tại M, N. BIết ID = 10, IN = 6 và $3CM^{2}+5CM=MI^{2}$. Tính độ dài dây CD.

 

$\boxed{\text{Bài toán 418}}$

Cho $a_i\ge 1; i=1,2,...,n$

Chứng minh rằng :
$$\prod_{i=1}^{n} \left (a_i+1\right ) \ge \dfrac{2^n}{n+1}\left [\left (\sum_{i=1}^{n} a_i\right ) +1\right ]$$

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 419}}$

Cho $p\in \mathbb{R}^+$ và $k\in \mathbb{R}^+$. Giả sử đa thức $F(x)=x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+k^4$ với các hệ số thực có 4 nghiệm âm. Chứng minh $$F(p)\ge (p+k)^4.$$

$\boxed{\text{Bài toán 420}}$

Cho $n$ số nguyên dương $1\leq a_1<a_2<....<a_n<2n$ thỏa mãn $a_i \not | \ a_j \forall i\neq j$

Chứng minh rằng $a_1\geq 2^{[log_{3}(2n)]}$   (Với [ ] là kí hiệu phần nguyên)

 

$\boxed{\text{Bài toán 421}}$

Cho $ABC$ là một tam giác và $M,N,P$ các điểm nằm trên cạnh $BC,CA,AB$. Lấy $\Delta_A, \Delta_B, \Delta_C$ là các đường thẳng đi qua $M,N,P$ và $\widehat{BM\Delta_A}=\alpha, \widehat{CN\Delta_B}=\beta, \widehat{AN\Delta_C}=\theta$ (các góc nằm trong tam giác) sao cho $\alpha+\beta+\theta=270^{o}$. Tìm điều kiện cần và đủ của mệnh đề sau:

"$\Delta_A, \Delta_B, \Delta_C$ đồng quy".

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 422}}$

Cho dãy $X_{n}$ thỏa mãn $X_{1}=1$ và $X_{n+1}= \sin X_{n}$

Chứng minh rằng $\lim \sqrt{n}.X_{n}=1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 423}}$

Cho $n$ là số nguyên dương lẻ và $u$ là một ước nguyên dương lẻ của $3^n+1$

Chứng minh $u-1$ chia hết cho $3$

 

$\boxed{\text{Bài toán 424}}$

Xét dãy đa thức $P_1(x)=4x^{3}-3x;P_n(x)=P_1(P_{n-1}(x)) \forall n \geq 2$.

Chứng minh $P_n(x)=x$ có đúng $3^{n}$ nghiệm thực phân biệt $\forall n \in \mathbb N *$

 

$\boxed{\text{Bài toán 425}}$

Cho dãy $\{x_n\}_{n\in \mathbb{N}}$ với $x_0\ge 0$ và xác định bởi $\sqrt{x_n}=\frac{x_n-x_{n+1}+1}{x_{n+1}-x_n}$. Tính $\lim\limits_{n\to \infty} \frac{x_n^6}{n^4}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 426}}$

 

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $abc=1$.

Chứng minh rằng:

$$\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+a^{2}}{2}}+\frac{2a}{1+a}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+b^{2}}{2}}+\frac{2b}{1+b}} \right )^{\frac{1}{3}}+\left ( \frac{2}{\sqrt{\frac{1+c^{2}}{2}}+\frac{2c}{1+c}} \right )^{\frac{1}{3}}\leq 3$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 427}}$

Cho 2 đường tròn $(O;R)$ và $(O';R')$ tiếp xúc ngoài, trong đó $R<R'$. Gọi $d$ là tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn. Gọi $A,B$ lần lượt là tiếp điểm của $(O),(O')$ với $d$. Trên tia $BO'$ lấy $F$ sao cho $BF=\sqrt{R.R'}$.

 

Từ $F$ kẻ đường thẳng song song $AB$ cắt $OO'$ tại $K$. Hạ $KH \perp AB$ ($H\in AB$). Trên tia $KH$ lấy điểm $M$ sao cho $HM=4\sqrt{R.R'}$.

 

Vẽ đường tròn ngoại tiếp $\triangle ABM$. Đường tròn này cắt $HK$ tại $I$.

 

Chứng minh rằng $I$ là tâm đường tròn tiếp xúc với $(O),(O')$ và $AB$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 428}}$

Cho $x,y,z>0$ thoả mãn $x+y+z+xyz=4$,chứng minh rằng:

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geqslant \left ( \frac{17\sqrt{17}-47}{8} \right )(x+y+z)+\frac{165-51\sqrt{17}}{8}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 429}}$

 

Tính $$\lim_{x \to 0} \frac{1}{\sin^4 x}\left(\sin\left(\frac{x}{1+x}\right)-\frac{\sin x}{1+ \sin x}\right)$$

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 430}}$

Tìm đa thức hệ số nguyên $P(x)$ sao cho với mọi số nguyên dương $n$ ta đều có $P(n)$ là ước của $2^n-1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 431}}$   

Cho trước số nguyên dương $n $ . Xét tập hợp $ \mathcal{M} \ = \ \{ 1 ; 2 ; ....; n^2 + n +1 \} $ .

Gọi $ \mathcal{F}$ là $ 1$ tập hợp chứa 1 số tập con $ \mathcal{X} $ của $ \mathcal{M} $ ,

, nhửng tập con này thỏa mãn $ | \mathcal{X} | \ \ > n^2$ . Biết rằng với mỗi số nguyên dương $x \ \in \ \mathcal{M} $ , có nhiều hơn $n^2 $ tập con $ \mathcal{X}_i $ thỏa mãn : $x \ \in \ \mathcal{X}_i $

Chứng minh rằng tồn tại $ 2$ tập hợp$ \mathcal{A} ; \mathcal{B} \ \in \ \mathcal{F} $ sao cho :

$ \mathcal{A} \bigcup \mathcal{B} = \mathcal{M} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 432}}$   

Cho vài (hoặc tất cả) các số $a_{1},a_{2},a_{3},...,a_{n}$ bằng +1 và các số còn lại của chúng bằng -1.Chứng tỏ rằng :

$$2\sin (a_{1}+\frac{a_{1}a_{2}}{2}+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}}{2^{2}}+...+\frac{a_{1}a_{2}a_{3}...a_{n}}{2^{n-1}}).45=a_{1}\sqrt{2+a_{2}\sqrt{2+a_{3}\sqrt{2+...+a_{n}{\sqrt{2}}}}}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 433}}$   

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $x$ là số thực dương. Chứng minh rằng

$$\frac{a^x-b^x}{a+b}+\frac{b^x-c^x}{b+c}+\frac{c^x-a^x}{c+a} \geq 0$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 434}}$   

Gọi $x_i$ là nghiệm của bất phương trình :

$x^2 - 2a_ix + (a_i - 1)^2 \le 0 $ $(i = \bar{1;n} )$ và $\dfrac{1}{2} \le a_i\le 5 , i = 1, 2, ..., n$
Chứng minh rằng :
$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + ... + x_n^2}{2n}} \le 1 + \dfrac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n}$$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 435}}$

Cho a,b,m,n nguyên dương (a,b)=1, m>n sao cho $a^{m}-b^{m}$ và $a^{n}-b^{n}$ có cùng tập ước nguyên tố.CMR:

$m\vdots n$  và  $\frac{m}{n}= 2^{s}$ với s tự nhiên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 436}}$

 

Cho tam giác ABC . M bất kì trong tam giác . CMR :

$$a.MB.MC+b.MC.MA+c.MA.MB \geq abc $$

 

$\boxed{\text{Bài toán 437}}$

 Cho dãy số nguyên dương $\{a_n \}_{1}^{\infty}$ thỏa $a_{n+2}=\left\lfloor \frac{2a_n}{a_{n+1}} \right\rfloor+\left\lfloor \frac{2a_{n+1}}{a_n} \right\rfloor$.

Chứng minh tồn tại số nguyên dương $m$ sao cho $a_m=4$ và $a_{m+1} \in \{3;4 \}$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 438}}$

Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương $n$, đa thức $\sum_{k=0}^{n}2^{k(n-k)}x^k$ có đúng $n$ nghiệm thực.

 

$\boxed{\text{Bài toán 439}}$

Cho dãy số $\left \{ x_{n} \right \}$ (n = 1, 2, ...) được xác định thỏa mãn đồng thời 2 điều kiện

i) $x_{n}=1$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số lẻ

ii) $x_{n}=0$ khi $\left [ (n+1)\sqrt{2015} -n\sqrt{2015}\right ]$ là một số chẵn

Trong đó kí hiệu [x] là phần nguyên lớn nhất không vượt quá x

Tính tổng sau $S=x_{1975}+x_{1976}+...+x_{2015}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 440}}$

Cho đa thức $P(x)=a_0 +a_1x+...+a_nx^n$ có n nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng với mọi số nguyên $p$ mà $p>n$ thì đa thức

$G(x)=a_0 +p.a_1x+p(p-1).a_2x^2+...+p(p-1)...(p-n+1)a_nx^n$ cũng có $n$ nghiệm thực phân biệt.

 

$\boxed{\text{Bài toán 441}}$

Cho $(O)$ và hệ thống các điểm $A_1,A_2,...,A_n$. S là một điểm trên $(O)$ khác $A_i (i=1,2,...,n) $Xét phép quay S biến $A_i \mapsto B_i$. chứng minh rằng các đường thẳng $A_iB_i$ đồng quy

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 442}}$

Cho $n>2$ là số nguyên và $a_1,a_2,...,a_n$ là các số nguyên đôi một khác nhau. Tìm tất cả bộ $(x_1,x_2,...,x_n,y)\in\mathbb{N}^{n+1}$ sao cho $(x_1,x_2,...,x_n,y)=1$ và

$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=yx_1$.
$a_2x_1+a_3x_2+...+a_1x_n=yx_2$.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
$a_nx_1+a_1x_2+...+a_{n-1}x_n=yx_n$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 443}}$

Cho tam giác $ABC$.Tâm ngoại tiếp $O$. Đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. Đường tròn bàng tiếp các góc $A,B,C$ tiếp xúc $BC,CA,AB$ tại $D,E,F$. Gọi $H$ là trực tâm tam giác $DEF$ và $J$ là giao điểm của $AI$ và $EF$.Đường thẳng $JM$ cắt $AH$ tại điểm $A'$. Xác định tương tự các điểm $B',C'$. Gọi $A", B",C"$ thứ tự là trung điểm các cạnh $NP,PM,MN$. Chứng minh rằng các đường thẳng qua $A",B",C"$ thứ tự song song với $A'D,B'E,C'F$ đồng quy tại một điểm nằm trên $OI$

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 444}}$

 

Ch0 $p$ là số nguyên tố lẻ và dãy $\{a_n\}_{(n\geq 0)}$ xác định bởi : $a_0=0,a_1=1,a_2=2,...,a_{p-2}=p-2$. $\forall n\geq p-1$, $a_n$ là số nguyên nhỏ nhất lớn hơn $a_{n-1}$ sao cho trong dãy $\{a_n\}$ không có dãy con $p$ phần tử nào tạo thành cấp số cộng.

Chứng minh rằng $\forall \,\, n, \, a_n$ nhân được bằng cách viết $n$ dưới dạng cơ số $p-1$ nhưng lại đọc trong cơ số $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 445}}$

Cho $P_1,P_2,...,P_n$ là $n$ điểm trên mặt phẳng.

$A=\, \{M\, | \, MP_1.MP_2....MP_n\leq 1\}$

Chứng minh có thể phủ $A$ bởi $n$ hình tròn có tổng bán kính $\leq 6$

 

$\boxed{\text{Bài toán 446}}$

Cho dãy $(u_{n})$ thoả mãn: $\left\{\begin{matrix} u_{0}=\frac{1}{2}\\u_{k+1}=u_{k}+\frac{1}{n}u_{k}^{2},\forall k=\overline{0,n-1} \end{matrix}\right.$

Tìm $\lim u_{n}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 447}}$

Tìm hàm số $f: R^+ \to R^+; f(a x^x+b)=a (f(x))^x +b$  với $a,b \in \mathbb{N}$

 

 $\boxed{\text{Bài toán 448}}$

Chứng minh rẳng tồn tại vô hạn các số nguyên dương n thoả mãn :  $ n^2 \mid 3^{n} + 1 $

 

 $\boxed{\text{Bài toán 449}}$

Chứng minh rằng dãy ${u_n}$ tuần hoàn (cộng tính) chu kì 2 khi và chỉ khi dãy có dạng
${u_n}=\frac{1}{2}(a+b+(a-b)(-1)^{n+1})$,a,b là các số thực

 

 $\boxed{\text{Bài toán 450}}$

Cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ca=1$ và 2 số thực $\alpha,\beta \ge 1$.Chứng minh rằng:
$$\sqrt[3]{abc} \le \sqrt[6]{\frac{[1+2(\alpha-1)abc(a+b+c)](a^2+b^2+c^2+2\beta)}{(3+6\alpha)(3+6\beta)}} \le \frac{a+b+c}{3}$$.

 

 $\boxed{\text{Bài toán 451}}$

Tìm các hàm số $f$ liên tục trên $R$ thoả mãn :

$f(3x-y+a)=3f(x)-f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}$

Trong đó a là số thực cho trước.

 

$\boxed{\text{Bài toán 452}}$

Chứng minh rằng không tồn tại $n\in \mathbb{N},10^{3n+1}=a^{3}+b^{3}\;\;(a,b\epsilon \mathbb{N}^*)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 453}}$

Cho số nguyên $n > 1$
CMR: $$\sqrt{n^2-1} +\sqrt{n^2-2^2} +... +\sqrt{n^2-(n-1)^2} < \pi .\frac{n^2}{4}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 454}}$

Gọi n là 1 số nguyên dương và : $ x_{1} ,...,x_{n}, y_{1} ,..., y_{n} $ là các số thực dương thỏa mãn tính chất sau :
Với mỗi tập con khác rỗng $S \subset {1,2,...,n} $ thì tồn tại một tập con khác không rỗng $T \subset {1,2,...,n} $ và :
$ \dfrac{ \sum _{i \in T} x_{i} }{ \sum _{i \in T} y_{i} }=\dfrac{ \sum _{i \in S} y_{i} }{ \sum _{i \in S} x_{i} } $.
Chứng minh rằng: Với mọi $i=1,2,...,n$ thì tồn tại $j$ sao cho :
$ x_{j} = y_{i} $ và : $ y_{j} = x_{i}. $

 

$\boxed{\text{Bài toán 455}}$

Xét bảng ô vuông $4\times 4 $. Ngưòi ta điền vào mỗi ô của bảng một trong hai số $1$ hoặc $-1$ sao cho tổng các số trong mỗi hàng và tổng các số trong mỗi cột đều bằng $0$. Hỏi có bao nhiêu cách ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 456}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 457}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(\omega )$. $I$ là tâm nội tiếp $\Delta ABC$. $AI,BI,CI$ cắt $(\omega )$ ở $A',B',C'$. M thuộc cạnh $AB$. Đường qua M song song $AI$ cắt đường qua B vuông góc $BI$ ở $A_{1}$. Đường qua M song song $BI$ cắt đường qua A vuông góc $AI$ ở $B_{1}$.

CMR: $A'A_{1};B'B_{1};C'M$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 458}}$

Tìm tất cả các hàm $f:R \rightarrow R$ thỏa mãn:
$f(x^{2}+y^{2}+2f(xy))=(f(x+y))^{2}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 459}}$

Cho các số nguyên tố $ p ; q $ và số nguyên dương $r$ thỏa mãn các điều kiện :

$ p > r^{q-1} \ ; \ q| (p-1) \ ; \ q \not | r$
Giả sử tồn tại $r$ số nguyên $ a_1 ; a_2 ; ...; a_r$ sao cho : $ \sum_{i=1}^{r} a^{\dfrac{p-1}{q}}_i \ \equiv 0 \ \ ( mod \ \ p)$
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ số trong $r$ số nguyên nói trên chia hết cho $p$

 

$\boxed{\text{Bài toán 460}}$

Cho đa thức $P(x)=x^{3}-6x+9$ và $P_{n}(x)=P(P(...(P(x)))...)$ (n dấu ngoặc)
Tìm số nghiệm của $P(x)$ và $P_{n}(x)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 461}}$

Cho dãy số thực phân biệt $x_1, x_2, ... x_n$ sao cho $x_1+x_2+...+x_n=0$ với $n \ge 2$. 

Chứng minh $\exists i,j (1 \le i < j \le n)$  để $\frac{1}{2}\leq \left |\frac{x_i}{x_j}  \right |\leq 2$ 

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 462}}$

Cho đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên thỏa mãn với mọi số nguyên dương $n$, $P(n)$ là tổng của hai số chính phương. Chứng minh tồn tại hai đa thức với hệ số hữu tỉ $P_{1}(x)$ và $P_{2}(x)$ sao cho $$P(x)=P_{1}(x)^{2}+P_{2}(x)^{2}$$

$\boxed{\text{Bài toán 463}}$

 

Cho dãy $a_1,a_2,...,a_{2006}$ là các số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại hữu hạn số nguyên dương $a$ có tính chất

$a-2006=\sum\limits_{i=1}^{2006}b_ia_i$ với $b_i$ là ước của $a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 464}}$

 

Cho $k,n \geqslant 1$ là các số tự nhiên và $A$ là tập hợp gồm $(k-1)n+1$ số nguyên dương, mỗi số này đều không vượt quá $kn$. Chứng minh rằng có ít nhất một phần tử của $A$ có thể biểu diễn như tổng của $k$ phần từ trong $A$. ($k$ phần tử này không nhất thiết phải khác nhau)

 

$\boxed{\text{Bài toán 465}}$

Cho đường tròn $(O)$ và hai điểm $B, C$ cố định, $A$ thay đổi trên $(O)$. $E, F$ thay đổi trên $AC, AB$ sao cho tứ giác $EFBC$ nội tiếp. Kí hiệu $(w)$ chỉ đường tròn tâm $B$ bán kính $BE$.$(w)$ cắt đường tròn tâm $C$ bán kính $CF$ tại hai điểm $M, N$. $(w)$ cắt $(O)$ tại hai điểm $U$, $V$. $UV$ cắt $ MN$ tại $I$. Chứng minh rằng $AI$ luôn đi qua điểm cố định.

 

$\boxed{\text{Bài toán 466}}$

Có bao nhiêu bộ số $(x_{1},x_{2}...,x_{2014})$ thỏa 

$x_{1}=x_{2014}=1;x_{i}\in (1,2,3) x_{i}\neq x_{i+1}(i=\bar{1,2013})$

 

$\boxed{\text{Bài toán 467}}$

Cho $x_1;x_2;...;x_{n} \ge 0$ có tổng bằng 2.Chứng minh rằng:
$$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{x_{k}^2+2} \ge \frac{3n-2}{6}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 468}}$

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ và thoả mãn :

$$f(x^2+yf(x))+f(y^2+xf(y))=(x+f(y))(y+f(x)),\;\forall x,y\in \mathbb{R}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 469}}$

Biện luận theo $n$ ($n$ nguyên dương) và $a$ (a là số thực) về số nghiệm của phương trình: $x^{n}-[x+n]=a$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 470}}$

Trong hình chữ nhật có kích thước $1\times 2$ lấy $6n^2+1$ điểm ($n\in \mathbb{N}^*$)

Chứng minh rằng tồn tại 1 đường tròn có bán kính là $\frac{1}{n}$ chứa không ít hơn 4 trong số các điểm đã cho.

 

$\boxed{\text{Bài toán 471}}$

Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số nguyên thoả mãn nếu $a,b$ là các số tự nhiên thoả mãn $a+b$ chính phương thì $P(a)+P(b)$ cũng là số chính phương.

 

$\boxed{\text{Bài toán 472}}$

Với mỗi tập hợp $X$ các số nguyên dương, ta kí hiệu $S_X$ thay cho tổng các phần tử của $X$. Một tập $A$ các số nguyên dương được gọi là tập "nguyên tố" nếu với mọi tập con thực sự $B$ khác rỗng của $A$ thì

$gcd\left( S_A,S_B\right) =1$

Hãy xác định tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $\left\{ (a+b)^2,(a+2b)^2,\ldots ,(a+nb)^2\right\}$ là một tập "nguyên tố".

 

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Cho tam giác ABC có F,L là 2 điểm thuộc đoạn AC sao cho $AF=LC< \frac{AC}{2}$ .Giả sử $AB^2+BC^2=AL^2+LC^2$

Tính số đo góc $\widehat{FBL}$

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 473}}$

Chứng minh rằng tồn tại dãy số $(a_{n})$ thỏa mãn:

$i) \exists c_{1},c_{2} \in \mathbb{R}: c_{1} \leq a_{n} \leq c_{2} \forall n \in \mathbb{N}^{*};$
$ii) \forall m,n \in \mathbb{N}^{*},m \neq n, |a_{m}-a_{n}| \geq \frac{1}{m-n}.$

 

$\boxed{\text{Bài toán 474}}$

Chứng minh rằng:

$$\sum_{k= 1}^{n}\frac{(-1)^{k}}{1+k^{2}}C_{2n}^{n+k}<0$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 475}}$

Cho dãy $S_n$ như sau

$S_1=a_1+a_2+..., S_2=a_1 a_2+.... ,...., S_n=a_1 a_2 ... a_n$ Với $a_1 ,a_2 ....\in [0;1]$

Chứng minh  bất đẳng thức sau :

$\frac{1}{1+S_1}+\sum_{i=0}^{n} \frac{1}{2i+2}.S_{2i+1}\leq 1+\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{2i+1}.S_{2i}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 476}}$

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi $X,Y,Z$ lần lượt là các điểm đối xứng với $O$ qua $A,B,C.M,N,P$ lần lượt là trung điểm $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng: $XM,YN,ZP$ đồng quy.

 

$\boxed{\text{Bài toán 477}}$

Cho $\sum_{i=1}^{1990}|x_i-x_{i+1}|=1991.$

Đặt $s_n=\frac{x_1+x_2+....+x_n}{n}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A=|s_1-s_2|+|s_2-s_3|+...+|s_{1990}-s_{1991}|$

 

$\boxed{\text{Bài toán 478}}$

Tất cả các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự :  $p_{1} =2$,$p_{2} =3$,$p_{3}=5$,.....

Tìm tất cả các cặp số nguyên $a,b$ với $ a-b\geq 2$ mà $p_{a}-p_{b}\vdots 2(a-b)$

 

$\boxed{\text{Bài toán 479}}$

Bài toán :

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

• $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
• $a_i\in \{-1;0;1\}$
• $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
• $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 480}}$

Cho $p$ là một số nguyên tố. Tìm tất cả số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \dbinom{n}{k}$ với mọi $k = 1, 2, \cdots, n - 1$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 481}}$

Cho $n \vdots 2, \, n\geq 4, \, A \subset \{1;2;,,,,;n\}.$

Xét các tổng $\sum^{3}_{i=1} a_i x_i$ với :

• $x_i \in A ,\, i=\overline{1;3}$
• $a_i\in \{-1;0;1\}$
• $\sum^{3}_{i=1} a_i \neq 0$
• $x_i=x_j$ thì $a_i.a_j\neq -1$

Tập $A$ được gọi là "tốt" nếu mọi tổng như vậy $\not \vdots n$.

Tìm max $|A|$ sao cho $A$ "tốt"

 

$\boxed{\text{Bài toán 482}}$

Cho dãy số xác định bởi $x_1=1;x_{n+1}=\frac{2020x_n^2-2019}{2(x_n^2+1)},n=1,2... $

Chứng minh dãy số đã cho có giới hạn hữu hạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 483}}$

Trong một trận đấu bóng đá có $2n+1$ đội tham gia và đá theo thể thức vòng tròn một lượt . Một tập 3 đội được gọi là tốt nếu tập đó tuân theo điều kiện : A thắng B , B thắng C , C thắng A . Tìm số lớn nhất các tập tốt trong trận bóng đá đó 

 

$\boxed{\text{Bài toán 484}}$

Tìm hàm $f:R\to R$ thỏa mãn: $f(x)=\max\limits_{y\in R}\{ xy-f(y)\},\forall x\in R$

 

$\boxed{\text{Bài toán 485}}$

Cho a,b,c là các số tự nhiên dương. Chứng minh rằng:

$$c[ \frac{c}{ab}]- [\frac{c}{a} ][\frac{c}{b} ] \leq c.\min\{ \frac{1}{a} ;\frac{1}{b}\}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 486}}$

Cho đa thức $P(x)$ bậc $n \ge 3$ có n nghiệm thực $x_1 < x_2 < ... < x_n$ ; thỏa mãn $x_2-x_1 < x_3-x_2 < ... < x_n-x_{n-1}$ . Chứng minh rằng giá trị lớn nhất của hàm số $y = |P(x)|$ trên đoạn $[x_1;x_n]$ sẽ xảy ra tại điểm nằm trên đoạn $[x_{n-1} ; x_n]$

 

$\boxed{\text{Bài toán 487}}$

Giả sử trong tập hữu hạn $X$ chọn được $50$ tập con $A_1,A_2,A_3,...,A_{50},$ mà mỗi tập con này đều chứa quá nửa số phần tử của tập $X.$ Tìm số tự nhiên $k$ bé nhất sao cho tồn tại tập con $B$ của $X$ sao cho $B$ có $k$ phần tử và $B\ \cap\ A_i\geq 1\ (1\leq i\leq50).$

 

$\boxed{\text{Bài toán 488}}$

Cho $a,b>1$ là các số nguyên dương.Dãy $(x_n)_{n=0}^{+\infty}$ thỏa mãn:

$\left\{\begin{matrix} x_0=0,x_1=1\\x_{2n}=ax_{2n-1}-x_{2n-2} \\x_{2n+1}=bx_{2n}-x_{2n-1} \end{matrix}\right.\ \ (n\ge 1)$

$\text{CMR}$ $\forall m,n\in \mathbb{N}^*$ thì $x_mx_{m-1}\mid x_{n+m}.x_{n+m-1}...x_{n+1}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 489}}$

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

$$ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 490}}$

Cho $A_1,A_2,A_3,A_4,A_5,A_j$ là các điểm nằm trên mặt cầu bán kính $1$. Chứng minh rằng $$\max\left (\min_{1\leq i,j\leq 5}A_{i,j}\leq \sqrt{2}  \right )$$

Tìm tất cả các vị trí của $A_i \quad (i=1,2,3,4,5)$ để dấu bằng xảy ra trong bất đẳng thức trên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 491}}$

Cho dãy số thực $u_1,u_2,...u_n$ chứng minh tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $$\left | \sum\limits_{i=1}^ku_i-\sum\limits_{i={k+1}}^{n}u_i \right |\le \max\limits_{1\le i\le n}|u_i|$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 492}}$

Cho $f$ là hàm đa thức xác định trên $\mathbb{R}$ và thỏa mãn điều kiện

$f(n+1)-f(n)=f(n)-f(n-1)$ , $\forall n \in \mathbb{R}$ thì dãy $\left \{ f(n) \right \}_n$ là một cấp số cộng.

 

$\boxed{\text{Bài toán 493}}$

Trong một hình vuông cạnh $100$ đặt $n$ đường tròn bán kính $1$ biết rằng bất kì một đoạn thẳng độ dài $10$ nào nằm hoàn toàn trong hình vuông cũng cắt ít nhất một đường tròn đã cho. Tìm GTNN của $n$.

[Ispectorgadget]

$\boxed{\text{Bài toán 494}}$

 

CMR với mỗi số nguyên dương $n$ đều tồn tại số tự nhiên $k$ sao cho $k.5^n=\overline{a_n.a_{n-1}...a_2a_1}$ viết trong hệ thập phân thỏa $i$ và $a_i$ cùng tính chẵn lẻ với $i=\overline{1,n}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 495}}$

 

Có $n$ ngọn đèn $L_{0},L_{1},...,L_{n-1}(n>1)$ được đặt trên $1$ đường tròn.Ta dùng $L_{n+k}$ đẻ chỉ $L_{k}$.Ở mọi thời điểm,mỗi đèn có thể sáng hoặc bị tắt.Ban đầu tất cả đều sáng

Ta biểu thị các bước $s_0,s_1,...$ như sau :tại bước $s_i$ nếu $L_{i-1}$ đang tắt thì ta đổi chiều trạng thái của $L_i$ còn nếu $L_{i-1}$ đang sáng thì không làm gì cả

CMR

• Tồn tại số nguyên dương $M(n)$ sao cho sau $M(n)$ bước thì tất cả đèn đều sáng
• Nếu $n=2^k$ thì ta có thể chọn $M(n)=n^2-1$
• Nếu $n=2^{k+1}$ ta có thể chọn $M(n)=n^2-n+1$

$\boxed{\text{Bài toán 496}}$

Cho dãy $(a_n)$ với $a_1=3,a_2=17;a_{n+2}=6a_{n+1}-a_n$.Tìm $\lim \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{a_{k}-3(-1)^{k}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 497}}$

Tìm $x,y \in N^{*}$ sao cho $y^x \mid x^y-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 498}}$

Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho $p\mid \varphi (n)$ và với mỗi $a$ mà $(a, n)=1$ ta đều có $n\mid a^{\frac{\varphi(n) }{p}}-1$

 

$\boxed{\text{Bài toán 499}}$

Gọi $F_n$ là số hạng thứ $n$ của dãy Fibonacci. Xét đa thức

$$P_n(x)=F_n^2x^n+F_{n+1}^2x^{n-1}+F_{n-2}^2x^{n-2}+...+F_1^2x+F_{n-1}^2$$

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n$ thì đa thức $P(x)$ luôn bất khả quy trên $\mathbb{Z}\left [ x \right ]$.

 

$\boxed{\text{Bài toán 500}}$

Chứng minh rằng : Dãy số sau chứa vô hạn các số nguyên đôi một nguyên tố cùng nhau

$$t_{n}=\frac{1}{k!}n\left (  n+1\right )\left ( n+k-1 \right )$$

với mọi $n,k\in \mathbb{Z^{+}}$

 

$\boxed{\text{Bài toán 501}}$

Giả sử ta có các số thực dương $x_1,x_2,...,x_k$ thỏa mãn điều kiện:

$x_1^2+x_2^2+...+x_k^2<\frac{x_1+x_2+...+x_k}{2}$

$x_1+x_2+...+x_k<\frac{x_1^3+x_2^3+...+x_k^3}{2}$

Tìm giá trị nhỏ nhất của $k$ và với giá trị $k$ đó, hãy chỉ ra một bộ số $(x_1,x_2,...,x_k)$ thỏa mãn điều kiện trên.

 

$\boxed{\text{Bài toán 502}}$

Giả sử có $n$ que diêm mà độ dài của chúng lần lượt là 1$,2,….n$. Hỏi có bao nhiêu tam giác không cân được tạo thành từ $3$ trong số các que diêm đó ?

 

$\boxed{\text{Bài toán 503}}$

Tim tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ , thỏa mãn 

$$f\left ( f\left ( x \right )+y \right )=f\left ( x+y \right )+xf(y)-xy-x+1$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 504}}$

Cho $a,b$ là số nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $x,y$ thỏa $\binom{x+y}{2}=ax+by$

 

$\boxed{\text{Bài toán 505}}$

Cho tam giác $ABC$ không tù , về phía ngoài tam giác ta lần lượt dựng trên 3 cạnh một hình vuông , một đa giác đều $n$ cạnh ($n$ giác đều) và một đa giác đều $m$ cạnh ($m$ giác đều) $(m,n>5)$ , sao cho tâm của 3 hình vừa dựng tạo thành 3 đỉnh của một tam giác đều . Hãy tìm mọi giá trị có thể của $m,n$ và xác định các góc của tam giác $ABC$ đã cho.

 

$\boxed{\text{Bài toán 506}}$

Cho $t,k,m$ là các số nguyên dương $t>\sqrt{km}$. Chứng minh
$$\dbinom{2m}{0}+\dbinom{2m}{1}+\cdots+\dbinom{2m}{m-t-1}<\dfrac{2^{2m}}{2k}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 507}}$

Cho $f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow \mathbb{R}^{+}$ thỏa mãn:

$$f(x+f(y))=f(x+y)+f(y);\forall x,y\in \mathbb{R}^{+}.$$

Chứng minh rằng: $f(x)+f(y)=2f(\frac{x+y}{2}).$