Bài 1: Chứng minh rằng tồn tại vô số các số nguyên tố có dạng $4k + 3$.
Cách giải (của sách):
Nhận xét: Mỗi số dạng $n = 4k + 3$ sẽ có ít nhất một ước nguyên tố có dạng đó.
Thật vậy, rõ ràng $n$ có ước cùng dạng với nó vì bản thân $n$ là ước của $n$. Gọi $p$ là ước nhỏ nhất trong các ước như thế. Nếu $p$ là số nguyên tố thì nhận xét được chứng minh. Nếu $p$ là hợp số thì $p$ phân tích được thành tích các thừa số nguyên tố lẻ (do $p$ lẻ). Các thừa số này không thể có cùng dạng $4m + 1$ (vì khi đó theo câu a, $p$ sẽ có dạng $4m + 1$). Vậy ít nhất một thừa số nguyên tố có dạng $4k + 3$.
Giả sử chỉ có hữu hạn các số nguyên tố có dạng $4k + 3$ là $p_{1}, p_{2}, ..., p_{n}$.
Xét số $N = 4p_{1}p_{2}...p_{n} - 1$ thì $N$ có dạng $4k + 3$. Theo nhận xét trên thì $N$ có ít nhất một ước nguyên tố dạng $4k + 3$. Nhưng từ cách xác định $N$ thì $N$ không thể chia hết cho bất cứ số nguyên tố nào có dạng $4k + 3$. Điều mâu thuẫn này chứng tỏ giả sử trên là sai. Vậy có vô số các số nguyên tố có dạng $4k + 3$.
Mình thắc mắc ở những chỗ in đậm:
1. Vì sao lại gọi $p$ là ước nhỏ nhất mà ko phải là ước lớn nhất hay ước bất kỳ trong các ước của $n$?
2. Vì sao $p$ là số nguyên tố mà nhận xét được chứng minh? Giả sử số $55$ có dạng $4k + 3$, số này có hai ước là $5$ và $11$. Rõ ràng ước nhỏ nhất $5$ là số nguyên tố nhưng chỉ có dạng $4k + 1$, chỉ $11$ mới có dạng $4k + 3$ !
Bài 2: Cho $a, b$ là 2 số thực sao cho với mọi số thực $c > 0$ ta luôn có $a < b + c$. Chứng minh rằng $a \leqslant b$.
Cách giải (của sách):
Giả sử ngược lại là $a > b$. Khi đó $\frac{a - b}{2} > 0$. Do $a < b + c$ nên với mọi $c > 0$ nên với $c = \frac{a - b}{2}$, ta có: $a < b + \frac{a - b}{2}$ hay $a < b$. Điều này mâu thuẫn với giả sử $a > b$. Suy ra giả sử $a > b$ là sai. Vậy $a \leqslant b$.
Mình thắc mắc là với $c > 0$ và $\frac{a - b}{2} > 0$ thì có thể đồng nhất $c = \frac{a - b}{2}$ được sao?
Mình cảm ơn trước.
