Chủ đề này có 9 trả lời

[HoangKhanh2002]

    Kì thi HSG tỉnh, Olympic 30/4 là một kì thi đầy cam go, quyết liệt đối với các bạn học sinh, nhất là các bạn học sinh trường chuyên.  Nói như vậy để thấy rằng, vượt qua kì thi và dành 1 kết quả cao là một thử thách lớn đối với các thí sinh, và điều đó đòi hỏi sự chuẩn bị, ôn tập kĩ lưỡng và những kĩ năng vững vàng đến từ các bạn. Nhằm đáp ứng nhu cầu bức thiết về mặt kiến thức đó, thiết nghĩ cần có 1 topic cần được lập ra để cho chúng ta rèn luyện và củng cố. Em xin thay mặt cho các thành viên 2k2 trên diễn đàn lập ra topic này.

     Topic xin đưa ra những quy định như sau:

- Tuyệt đối không spam. Trước mỗi bài sử dụng lệnh \boxed{\text{Bài....}}, trước lời giải sử dụng lệnh \boxed{\text{Lời giải bài....}}

- Post đề nào, giải xong đề đó. Tránh đăng tràn lan gây loãng topic

- Giải bài nào chỉ trích dẫn bài đó, không trích dẫn toàn văn gây xấu topic.

     Mỗi tuần Topic sẽ đăng đúng 1 đề có cấu trúc giống 1 đề chính thức, và sẽ thảo luận đúng trong tuần đó để giải quyết hết các bài tập trong đề đó.

Nếu các bạn có mong muốn đóng góp cho Topic hãy nhắn tin trực tiếp với bạn HoangKhanh2002 để gửi đề.

       Rất mong các bạn gần xa sẽ ủng hộ thế mạnh của mình để các mem ở Topic ta tham gia thi đạt KQ tốt nhất. Mong các ĐHV THPT, ĐHV OLYMPIC tham gia nhiệt tình

Xin chân thành cảm ơn anh Lê Hoàng Bảo (Baoriven) đã giúp đỡ!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 07-07-2017 - 20:11

[HoangKhanh2002]

Khởi động nào các mem

$\boxed{\text{ĐỀ SỐ 1}}$ (Dành cho HSG THPT không chuyên)

$\boxed{\text{Bài 1}}$

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y)\\ \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5 \end{matrix}\right.$

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của tam thức: $f(x)=x^2+ax+b$ với $a,b \in[-1,1]$. Chứng minh: $(\left | x_{1} \right |+1)(\left | x_{2} \right |+1) \leqslant 2+\sqrt{5}$

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{x-1}-2\sqrt[4]{x^2-x}+m\sqrt{x}\leqslant 0$

$\boxed{\text{Bài 3}}$

      a) Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ và $M$ là điểm thoả mãn $\overrightarrow{OM}=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$. Biết rằng $OM$ vuông góc với $BI$ và $AC^2=3BC.BA$. Tính $\widehat{ABC}$

      b) Tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp lần lượt là $R, r$ thỏa mãn đẳng thức:               .

                                      $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{2r}{R}=4$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều

$\boxed{\text{Bài 4}}$

       Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$. Gọi $H,K$ lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh $B,C$ của tam giác $ABC$. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ biết $H(5,-1),K\left ( \dfrac{1}{5},\dfrac{3}{5} \right )$, phương trình đường thẳng $BC$ là $x+3y+4=0$ và điểm $B$ có hoành độ âm.

$\boxed{\text{Bài 5}}$

     Cho $a,b,c$ dương. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2\geq 2(ab+bc+ca-1)$

File pdf (in ấn):  DE_LAN_1.pdf   120.5K   294 Số lần tải ($\LaTeX{}$ bởi: Nguyễn Phúc Tăng)

Spoiler

Mọi người đóng góp đề giúp mình với. Đề 30/4 mình không biết cấu trúc, ai có inbox cho minh để mình đăng lên

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 08-07-2017 - 22:49

[Duy Thai2002]

Chém bài 5 ủng hộ topic.

<=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1+(abc)^{2}-2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

<=> $\sum a^{2}+2abc+1+(abc-1)^{2}\geq 2(ab+bc+ca)$

Ta có: $\sum a^{2}+2abc+1+(abc-1)^{2}\geq \sum a^{2}+2abc+1$

Ta cần cm $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Xét tích $\prod (1-a)^{2}=\prod (1-a)(1-b)\geq 0$

=> Trong ba số (1-a)(1-b), (1-c)(1-b), (1-c)(1-a) có ít nhất một số không âm giả sử (1-a)(1-b)$\geq 0$

<=> ab$\geq a+b-1$

<=> $2abc\geq 2ac+2bc-2c$

=> $\sum a^{2}+2abc+1 \geq \sum a^{2}+2ac+2bc-2c+1$

Mặt khác ,  

$\sum a^{2}+2ac+2bc-2c+1-2(ab+bc+ca)=(a-b)^{2}+(c-1)^{2}\geq 0$

=> $\sum a^{2}+2ac+2bc-2c+1\geq 2(ab+bc+ca)$

=> $\sum a^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

=> bđt được chứng minh. Dấu bằng xảy ra <=> a=b=c=1

[HoangKhanh2002]

$\boxed{\text{Bài 3}}$

      b) Tam giác $ABC$ có các cạnh $a, b, c$ và bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội

tiếp lần lượt là $R, r$ thỏa mãn đẳng thức:               .

                                      $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{2r}{R}=4$

Chứng minh tam giác $ABC$ đều

$\boxed{\text{Lời giải bài 3b}}$

Ta có: $S_{ABC}=p.r=\dfrac{abc}{4R}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\implies \dfrac{2r}{R}=\dfrac{8S_{ABC}^2}{pabc}$

Từ giả thiết: $\dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{2r}{R}=4 \iff \dfrac{a^3+b^3+c^3}{abc}+\dfrac{8S_{ABC}^2}{pabc}=4\\ \iff p(a^3+b^3+c^3)+8.p.\dfrac{a+b-c}{2}.\dfrac{a-b+c}{2}.\dfrac{-a+b+c}{2}=4abcp\\ \iff a^3+b^3+c^3+(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)-4abc=0\\ \iff a^2b+a^2c+ab^2-6abc+ac^2+b^2c+bc^2=0\\ \iff b(a-c)^2+c(a-b)^2+a(b-c)^2=0\\ \iff a=b=c \hspace{0,5cm}\square$

PS: Các bạn nhớ đọc kĩ quy định khi post. Trích lại đề bài đó và sử dụng lệnh \boxed{\text{Lời giải bài..}}

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HoangKhanh2002: 07-07-2017 - 21:49

[Drago]

$\boxed{\text{Bài 1}}$

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y)\\ \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5 \end{matrix}\right.$

 

Ta có: $VT(1)=\sqrt{(2x+y)^2+(x-y)^2}+\sqrt{(x-y)^2+(x+2y)^2}\geq (2x+y)+(x+2y)=3(x+y)=VT(1)$

Suy ra $x=y$ rồi thay vào $(2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Drago: 07-07-2017 - 21:58

[githenhi512]

 

$\boxed{\text{Bài 1}}$

a) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=3(x+y)\\ \sqrt{2x+y+1}+2\sqrt[3]{7x+12y+8}=2xy+y+5 \end{matrix}\right.$

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của tam thức: $f(x)=x^2+ax+b$ với $a,b \in[-1,1]$. Chứng minh: $(\left | x_{1} \right |+1)(\left | x_{2} \right |+1) \leqslant 2+\sqrt{5}$

 

$\boxed{\text{Lời giải bài 1}}$

a) Ta có: $\sqrt{5x^2+2xy+2y^2}+\sqrt{2x^2+2xy+5y^2}=\sqrt{(2x+y)^2+(x-y^2)}+\sqrt{(x+2y)^2+(x-y)^2}\geq 2x+y+x+2y=3(x+y)\Rightarrow x=y$ 

pt (2), $\sqrt{3x+1}+2\sqrt[3]{19x+8}=2x^2+x+5\Leftrightarrow [\sqrt{3x+1}-(x+1)]+2[\sqrt[3]{19x+8}-(x+2)]-2x(x-1)=0\Leftrightarrow -x(x-1)\left [ \frac{1}{\sqrt{3x+1}+x+1}+\frac{2(x+7)}{\sqrt[3]{(19x+8)^2}+\sqrt[3]{19x+8}(x+2)+(x+2)^2}+2\right ]=0$

Vậy $(x;y)\in \left \{ (0;0);(1;1) \right \}$

b) x₁ , x₂ là nghiệm của pt f(x)=0 $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=-a & & \\ x_{1}x_{2}=b & & \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow (\left | x_{1} \right |+1)(\left | x_{2} \right |+1)=|b|+1+\sqrt{a^2-2b+2|b|}\leq 2+\sqrt{1+2+2.1}=2+\sqrt{5}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi githenhi512: 07-07-2017 - 22:04

[lenadal]

Bài 5 

Dễ có $a^2+b^2+c^2+\frac{9abc}{a+b+c}\geq 2(ab+bc+ca)$

Mà $9abc=3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\leq (a+b+c)(abc+abc+1)=(a+b+c)(2abc+1)$

Do đó $a^2+b^2+c^2+2abc+1 \geq 2(ab+bc+ca)$

Từ đây dễ dàng suy ra đpcm

[Drago]

 

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$ Tìm tất cả các giá trị của $m$ để bất phương trình sau có nghiệm:

$\sqrt{x-1}-2\sqrt[4]{x^2-x}+m\sqrt{x}\leqslant 0$

 

 

$\boxed{\text{Bài 2}}$

Điều kiện: $x \ge 1$

Ta có: $(1) \Leftrightarrow \sqrt{\frac{x-1}{x}}-2\sqrt[4]{\frac{x-1}{x}}+m \le 0(2)$

Đặt $t= \sqrt[4]{\frac{x-1}{x}} \ge 0$, khi đó $(2)$ trở thành:

$t^2-2t+m \le 0(3)$ với $t\in[0;+\infty]$

có $f'(t)=2t-2=0\Leftrightarrow t=1$

Suy ra $f(t)_{max}=f(1)=-1+m\le0\Leftrightarrow m \le 1$

          $[0\rightarrow +\infty]$

Vậy $m\le 1$ thì BPT luôn có nghiệm.

[conanthamtulungdanhkudo]

Bài 4

Gọi M là trđ BC $\Rightarrow M(-3a-4;a)$

Ta có $MH=MK$$\Rightarrow a=-2$

$\Rightarrow$$M(2;-2)$

Gọi $B(-3x-4;x)$$\Rightarrow$$C(8+3x;-4-x)$

Ta có $\overrightarrow{CH}(-3-3x;3+3x);\overrightarrow{BH}(9+3x;-1-x)$

Do $\overrightarrow{BH}$ $\perp $ $\overrightarrow{CH}$

$\Rightarrow (-3-3x)(9+3x)+(3+3x)(-1-x)=0\Rightarrow$ $x=-1$ hoặc $x=-3$

Do $x_{B}<0$$\Rightarrow B(-1;-1);C(5;-3)$

Lập Pt CH qua C(5;-3) và có $\overrightarrow{n_{BH}}$

$\Rightarrow CH:x-5=0$

TT $BK:-4x+3y-1=0$

$\Rightarrow$ tđ A là nghiệm của hệ trên $A(5;7)$

[gmousensei]

Xin lời giải câu 3a đi