Chủ đề này có 2 trả lời

[Baoriven]

Cho $a,b,c> 0$. Chứng minh rằng:

$a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}\geq 2(ab+bc+ca)$

[minhducndc]

bài này trong đề thi chuyên toán tp hà nội 2014-2015

đặt$\sqrt[3]{a^{2}}=x;\sqrt[3]{b^{2}}=y;\sqrt[3]{c^{2}}=z \Rightarrow a^{2}=x^{3};b^{2}=y^{3};c^{2}=z^{3}$

ta đc bđt x³+y³+z³+3xyz$\geq 2(\sqrt{x^{3}y^{3}}+\sqrt{y^{3}z^{3}}+\sqrt{z^{3}x^{3}})$

x;y;z có vai trò như nhau ta giả sử x$\geq y\geq z\geq 0$

khi đó x(x-y)²+z(y-z)²+(z+x-y)(x-y)(y-z)$\geq 0$

suy ra x³+y³+z³+3xyz$\geq xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$(1)

áp dụng AM-GM ta có xy(x+y)$\geq 2xy\sqrt{xy}=2\sqrt{x^{3}y^{3}}$

tương tự ta có $\sum xy(x+y)\geq 2(\sum \sqrt{x^{3}y^{3}})$(6)

suy r ĐPCM

[AnhTran2911]

BĐT hệ quả của Shur dạng phân thức