Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 2 tháng 7/2017: Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 10-07-2017 - 12:39

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 1 tháng 7 năm 2017 đã được đưa ra tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Ngô Quang Dương. Xin được trích dẫn lại hai bài toán mới:

 

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và tâm nội tiếp $(I)$. $AI$ cắt $(O)$ tại $D$ khác $A$. Lấy $E$ thuộc đoạn $BC$ và $F$ thuộc jung nhỏ $\angle CD$ sao cho $\angle EAB= \angle FAC$. Lấy $M$ thuộc $IF$ sao cho $DM \parallel BC$. Lấy $N$ đối xứng $D$ qua $OM$. $AN$ cắt $DE$ tại $P$. Lấy $Q$ thuộc $AF$ sao cho $DQ \parallel IE$. Chứng minh rằng $PQ$ và $IF$ cắt nhau trên $(O)$.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.35.20 PM.png

 

Bài 2. (Ngô Quang Dương) Cho $(P,P*)$ và $(Q,Q*)$ là hai cặp điểm đẳng giác với tam giác $ABC$. $R$ là giao điểm của $PQ$ và $P*Q*$ trong khi $R*$ là giao điểm của $PQ*$ và $QP*$. Chứng minh rằng $(R,R*)$ là cặp điểm đẳng giác với $ABC$ và đường tròn pedal của $P,Q,R$ với tam giác $ABC$ đồng trục.

 

Screen Shot 2017-07-10 at 3.39.24 PM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 10-07-2017 - 14:39

Bài 1. Gọi $G$ là giao điểm của $FI$ với $(O)$. $AD$ cắt $BC$ tại $D'$.

$DG$ cắt $AE$ tại $T$ thì $IT || BC$. Do đó $\dfrac{TE}{TA}=\dfrac{ID'}{IA}=\dfrac{BC}{AB+AC}=\dfrac{BD}{DA}=\dfrac{DI}{DA}$

Do đó $DT$ chia đôi $IE$ tại trung điểm $R$ nên $D(GQ, PA)=-1$ mà $GFDN$ là tứ giác điều hòa nên $A(GQ, PD)=-1$ hay $D(GQ, PA)=A(GQ, PD)$

Do đó $P, Q, G$ thẳng hàng nên ta có điều phải chứng minh.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#3 dangkhuong

dangkhuong

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Hà Nội Amsterdam (chuyên Toán)
  • Sở thích:Hình học phẳng

Đã gửi 10-07-2017 - 17:30

hih297.png

 

Lời giải bài 1 của em: Bổ đề: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$ tâm nội tiếp $I$, $AI\cap (O)=A,D$. $E,F$ lần lượt thuộc $BC$ cung $DC$ không chứa $A$ của $(O)$ sao cho: $\angle FAC=\angle EAB$. $J$ trung điểm $IE$. Khi đó $DJ$ cắt $IF$ trên $(O)$.
 

Chứng minh bổ đề: Gọi $P$ tâm bàng tiếp góc $\angle BAC$ của tam giác $ABC$. Ta dễ thấy rằng: $AE.AF=AB.AC=AI.AP$ do đó $\bigtriangleup AEP\sim \bigtriangleup AIF$ nên chú ý $D$ trung điểm $IP$ nên $\angle ADJ=\angle APE=\angle AFI$ do đó $JD$ cắt $IF$ trên $(O)$.

 

Quay trở lại bài toán, gọi $J$ trung điểm $IE$, do $OD\perp DM$ nên $MD$ tiếp xúc $(O)$ hay $NM$ cũng tiếp xúc $(O)$. Áp dụng bổ đề thì: $JD$ cắt $IF$ trên $(O)$ tại điểm $G\neq F,D$, lấy $K=GQ\cap AD$.

Lại : $G,I,F,M$ thẳng hàng do đó $GDFN$ 1 tứ giác điều hoà do đó: $A(GF,IN)=-1=A(GQ,IP)$ suy ra $(PK,QG)=-1$. Gọi $DE\cap GQ=P'$, do $DG$ chia đôi $IE$ $DQ\| IE$ nên $D(EI,QG)=-1=D(P'K,QG)$ suy ra $(P'K,QG)=-1$ do đó $P\equiv P'$ thế nên $G,P,Q$ thẳng hàng. Vậy $IF$ cắt $PQ$ trên $(O)$ tại $G$(điều phải chứng minh).


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangkhuong: 10-07-2017 - 17:37

:ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:


#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 10-07-2017 - 22:53

Bài 2.

Bổ đề. Cho tam giác $ABC$ và hai điểm $E, F$ thỏa mãn $AE, AF$ đẳng giác góc $BAC$. $BE$ cắt $CF$ tại $P$, $BF$ cắt $CE$ tại $Q$. Khi đó $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$

Chứng minh.

Biến đổi tỉ số kép: $A(EP, BC)=C(EP, BA)=C(QF, BA)=A(QF, BC)=A(FQ, CB)$ nên $AP, AQ$ đẳng giác góc $BAC$

 

Hệ thức Maclaurin mở rộng: Cho $A, B, C, D, E$ nằm trên một đường thẳng, khi đó: $\overline{AB}.\overline{AC}=\overline{AD}.\overline{AE}\Leftrightarrow \dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{DB}}{\overline{DC}}.\dfrac{\overline{EB}}{\overline{EC}}$

 

Áp dụng bổ đề trên cho tam giác $APP*$ với $AQ, AQ*$ đẳng giác góc $PAP*$ ta suy ra $AR, AR*$ đẳng giác góc $PAP*$ nên đẳng giác góc $BAC$

Tương tự với các góc còn lại ta suy ra $R, R*$ đẳng giác trong tam giác $ABC$

Gọi $P_a, P*_a, Q_a, Q*_a, R_a, R*_a$ là hình chiếu của $P, P*, Q, Q*, R, R*$ trên $BC$

Ta sẽ chứng minh: $\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}$

Nhóm theo từng cặp trên các hình thang, điều này tương đương với: $\dfrac{\overline{RP}}{\overline{QP}}.\dfrac{\overline{R*P}}{\overline{Q*P}}=\dfrac{\overline{RP*}}{\overline{Q*P*}}.\dfrac{\overline{R*P*}}{\overline{QP*}}$, điều này hiển nhiên đúng.

Gọi $W$ là giao điểm của trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ và $BC$

Khi đó $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WQ_a}.\overline{WQ*_a}$ nên theo hệ thức Maclaurin mở rộng, ta có:

$$\dfrac{\overline{WP_a}}{\overline{WP*_a}}=\dfrac{\overline{Q_aP_a}}{\overline{Q_aP*_a}}.\dfrac{\overline{Q*_aP_a}}{\overline{Q*_aP*_a}}=\dfrac{\overline{R_aP_a}}{\overline{R_aP*_a}}.\dfrac{\overline{R*_aP_a}}{\overline{R*_aP*_a}}$$

Vậy theo hệ thức Maclaurin mở rộng ta lại có: $\overline{WP_a}.\overline{WP*_a}=\overline{WR_a}.\overline{WR*_a}$

Do đó $W$ là tâm đẳng phương của đường tròn pedal của ba điểm $P, Q, R$

Trục đẳng phương của hai đường tròn pedal ứng với $P, Q$ phải cắt ít nhất một cạnh nữa của tam giác $ABC$

Làm tương tự với cạnh đó ta được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 10-07-2017 - 23:06

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#5 Đặng Minh Mẫn

Đặng Minh Mẫn

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 16 Bài viết

Đã gửi 23-07-2017 - 09:14

Mọi người ơi cho mình hỏi:

Mình thấy có một số ký hiệu mà các bạn sử dụng ví dụ như D(GQ,PA) = -1, A(GQ,PD) = -1, .... có nghĩa là gì vậy?

Mình có lên diễn đàn tìm đọc các tài liệu nhưng không thấy.

Mọi người giải thích giùm mình với, mình xin cảm ơn







0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh