Chủ đề này có 2 trả lời

[supernatural1]

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn:

$ P(x).P(x+1)=P(x^{2}) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supernatural1: 10-07-2017 - 19:24

[supernatural1]

Ai giải giúp với 

[blackwave]

Tìm tất cả các đa thức P(x) có hệ số thực thỏa mãn:

$ P(x).P(x+1)=P(x^{2}) $

Giả sử $P(x)$ có nghiệm thực . Nếu tồn tại $a\in R$ sao cho $P(a)=0$ thì 

Thay $x=a$ ta được $P(a^{2})=0$ , tương tự thế ta được $P(a^{2^{k}})=0$ với $k\geq 0$ .

Do $a\in R$ và theo tính chất hữu hạn nghiệm của đa thức ta suy ra $P(x)=x^{k}(x-1)^{m}G(x)$

trong đó thỏa : $\left\{\begin{matrix} k,m\geq 0,\in Z\\ k+m\geq 1\\ G(x)>0 \forall x\in R \end{matrix}\right.$

Thay ngược lại vào phương trình ta suy được $k=m$

Tiếp theo chỉ cần giải phương trình trên với $P(x)>0\forall x\in R$

Giả sử $b$ là số phức thỏa $P(b)=0$

tương tự ta được $P(b^{2^{k}})=0$

Tiếp theo thay$x=b-1$ ta cũng được $P((b-1)^{2^{k}})=0$ 

do đó ta được $\left\{\begin{matrix} \left | b \right |=1\\ \left | b-1 \right |=1 \end{matrix}\right.$

Nên suy ra vô lý . 

Vậy $P(x)=(x(x-1))^{k}$ và $P(x)=0$ trong đó $k\geq 0$