Chủ đề này có 10 trả lời

[bigway1906]

Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \geq  1$

Bài 2. Cho a, b , c > 0 thỏa $a+b+c =1$. Chứng minh rằng 

$\frac{a^2+b}{b+c} + \frac{b^2+c}{c+a} + \frac{c^2+a}{a+b} \geq 2$

Bài 3. Cho a, b, c > 0  thỏa $a^2+b^2+c^2 = 3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bigway1906: 11-07-2017 - 11:42

[Duy Thai2002]

Bài 2: Giả sử $a\geq b\geq c$

Bđt <=> $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c}\geq 2$

Ta có: $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{1^{2}}{2.1}=\frac{1}{2}$

Ta cần cm: $\sum \frac{b}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

<=> $\sum \frac{b}{b+c}-\frac{3}{2}\geq 0$

<=> $\frac{(a-c)(b-c)(a-b)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$( đúng)

=> đpcm.

[Hoang Dinh Nhat]

 

Bài 3. Cho a, b, c > 0  thỏa $a^2+b^2+c^2 = 3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

 

Ta có BĐT phụ: $\frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+1}{2}\Leftrightarrow a(a-1)^2\geq 0$(Đúng)

Áp dung BĐT trên, ta có: $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{a^2+b^2+c^2+3}{2}=3$

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=1$

[bigway1906]

Bài 2: Giả sử $a\geq b\geq c$

Bđt <=> $\sum \frac{a^{2}}{b+c}+\sum \frac{b}{b+c}\geq 2$

Ta có: $\sum \frac{a^{2}}{b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}}{2(a+b+c)}=\frac{1^{2}}{2.1}=\frac{1}{2}$

Ta cần cm: $\sum \frac{b}{b+c}\geq \frac{3}{2}$

<=> $\sum \frac{b}{b+c}-\frac{3}{2}\geq 0$

<=> $\frac{(a-c)(b-c)(a-b)}{2(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 0$( đúng)

=> đpcm.

theo mình nhớ là bất đẳng thức đối xứng thì mới có thể giả sử $a\geq b\geq c$, nhưng bất đẳng thức này k đối xứng?

[Hoang Dinh Nhat]

Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \leq 1$

 

 

Bài này chắc bạn nhầm đề, phải là chứng minh: $\sum \frac{1}{1+x+x^2}\geq 1$

Chứng minh:

Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

Bất đẳng thức trở thành: $\sum \frac{b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{\sum a^2+\sum ab})\geq 1-\frac{a^2+b^2+c^2}{\sum a^2+\sum ab}$

$\Leftrightarrow \frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{ab^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$

Theo BĐT$Cauchy-Schwarz$, ta có: $\frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{ab^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{c(a^2+ab+b^2)+a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$ $Q.E.D$

Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c$$\Leftrightarrow x=y=z=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 14-07-2017 - 12:01

[bigway1906]

Bài này chắc bạn nhầm đề, phải là chứng minh: $\sum \frac{1}{1+x+x^2}\geq 1$

Chứng minh:

Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$

Bất đẳng thức trở thành: $\sum \frac{b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$

Cái này bổ đề quen thuộc

bạn ơi, đến đây mình sẽ làm tiếp như nào vậy?

[iloveyouproht]

Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \geq  1$

Bài 2. Cho a, b , c > 0 thỏa $a+b+c =1$. Chứng minh rằng 

$\frac{a^2+b}{b+c} + \frac{b^2+c}{c+a} + \frac{c^2+a}{a+b} \geq 2$

Bài 3. Cho a, b, c > 0  thỏa $a^2+b^2+c^2 = 3$. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$

1.

[bigway1906]

1.

bạn ơi, đây là tài liệu gì vậy, có thể gửi cho mình  được k?

[NHoang1608]

Bài số 1: Đây là một bổ đề trong bài viết của mình   https://diendantoanh...ac1a2-a1-leq-3/

[AnhTran2911]

Bài số 1: Đây là một bổ đề trong bài viết của mình   https://diendantoanh...ac1a2-a1-leq-3/

Giải bài bất nớ chất :v. Huy Hoàng hay bb:))

[Hoang Dinh Nhat]

bạn ơi, đến đây mình sẽ làm tiếp như nào vậy?

 

đã fix bạn nhé