Bài 1. Cho $x,y,z > 0$ thỏa xyz=1. Chứng minh rằng: $\sum \frac{1}{1+x+x^2} \leq 1$
Bài này chắc bạn nhầm đề, phải là chứng minh: $\sum \frac{1}{1+x+x^2}\geq 1$
Chứng minh:
Đặt $(x;y;z)=(\frac{a}{b};\frac{b}{c};\frac{c}{a})$
Bất đẳng thức trở thành: $\sum \frac{b^2}{a^2+ab+b^2}\geq 1$
$\Leftrightarrow \sum (\frac{a^2}{a^2+ab+b^2}-\frac{a^2}{\sum a^2+\sum ab})\geq 1-\frac{a^2+b^2+c^2}{\sum a^2+\sum ab}$
$\Leftrightarrow \frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{ab^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$
Theo BĐT$Cauchy-Schwarz$, ta có: $\frac{ca^2}{a^2+ab+b^2}+\frac{ab^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{bc^2}{c^2+ca+a^2}\geq \frac{(ab+bc+ca)^2}{c(a^2+ab+b^2)+a(b^2+bc+c^2)+b(c^2+ca+a^2)}=\frac{(ab+bc+ca)^2}{(a+b+c)(ab+bc+ca)}=\frac{ab+bc+ca}{a+b+c}$ $Q.E.D$
Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c$$\Leftrightarrow x=y=z=1$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 14-07-2017 - 12:01