Chứng minh rằng đa thức đặc trưng của ma trận $A$ có thể biểu diễn :
$$det(A - XE) = \sum_{i=0}^{n} c_{i}(-X)^{n-i}$$
Trong đó $c_{i}$ là tổng các định thức chính cấp $i$ . Một ma trận chính là một ma trận có tập chỉ số hàng và cột trùng nhau .
Attempt :
Mình gọi $A = (a_{ij})_{n \times n}$ thế thì gọi $b_{ij}=a_{ij}$ nếu $i \neq j$ và $b_{ij}=a_{ij}-x$ nếu $i = j$
$$det(A - XE) = \sum sign(\sigma) b_{\sigma(1)1}....b_{\sigma(n)n}= \sum sign(\sigma) \prod_{\sigma(i) \neq i} b_{\sigma(i)i} \prod_{\sigma(i)=i} (a_{ii} - x)$$
Bây giờ để xuất hiện bậc $(-X)^{k}$ thì trong tích $\prod (a_{ii} - x)$ phải có ít nhất $k$ nhân tử . Nếu nó có $t \geq k$ nhân tử thì hệ số sẽ là :
$$sign(\sigma) \prod_{ \sigma(i) \neq i }^{n-t} a_{\sigma(i)i} ( \sum a_{i_{1}i_{1}}...a_{i_{(t-k)}}a_{i_{(t-k)}} )$$
Lấy tổng
$$\sum_{t=k}^{n} \sum sign(\sigma) \prod_{ \sigma(i) \neq i }^{n-t} a_{\sigma(i)i} ( \sum a_{i_{1}i_{1}}...a_{i_{t-k}}a_{i_{t-k}} )$$
Trong khi đó tổng các định thức con cấp $n-k$ được tính như sau , chọn một tập chỉ số $(i_{1},...i_{n-k})$ như vậy định thức chính cấp $n-k$ có thể tính như sau
$$ \sum sign(\sigma) a_{\sigma(i_{1})i_{1}}...a_{\sigma(i_{n-k})i_{n-k}}$$
Vậy có thể thấy sự tương ứng một một giữa các thành phần của tổng này và không cần quan tâm dấu phép thế vì nó trùng nhau thì dấu sẽ trùng .
Mình vừa sửa lại do tìm thấy lỗi sai của mình , giờ thì đúng rồi , tuy nhiên vẫn để lại bạn nào đọc thì đọc .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 11-07-2017 - 00:48
