Đến nội dung

Hình ảnh

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

- - - - - đa thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Nghiapnh1002

Nghiapnh1002

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 108 Bài viết

Cho số nguyên tố $p=\overline{abcd}$chứng minh rằng đa thức

$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$  bất khả quy.



#2
duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết

Ta đi phản chứng.

Giả sử ngược lại đa thức $f(x)$ không bất khả quy khi đó $\exists h(x),g(x)$ là hai đa thức hệ số nguyên sao cho:

$f(x)=h(x).g(x)$.Không mất tính tổng quát,giả sử $deg(h)=1$.

Mặt khác dễ thấy $d$ khác $0$ nên với mọi $x \geq 0$ thì đa thức $f(x)$ vô nghiệm.Do đó đa thức đã cho chỉ có nghiệm âm.

Vì thế $h(x)$ cũng có nghiệm âm,đặt $h(x)=nx-m$   nên nó nghiệm nó là $\frac{m}{n}$ với $m>0$,$n<0$

Để ý ta thấy:$f(10)=1000a+100b+10c+d=\overline{abcd}=p \in P$

Do vậy $h(10).g(10)=p$ suy ra $h(10)=1$; $h(10)=p$ ;$h(10)=-1$ hay $h(10)=-p$

Lúc này ta có: $10n=m+1$ ; $10n=m+p$;$10n=m-1$ hay $10n=m-p$.Ba trường hợp đầu dẫn đến mâu thuẫn.

Còn trường hợp cuối suy ra $m=d \Rightarrow n=-\overline{abco}|a$ (Vô lí)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi duylax2412: 13-07-2017 - 19:36

Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: đa thức

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh