Đến nội dung

Hình ảnh

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

- - - - - hệ phương trình căn thức

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

Cmr: x=y=z



#2
trambau

trambau

    Thiếu úy

  • Điều hành viên THPT
  • 551 Bài viết

Cho các số không âm x,y,z thỏa mãn điều kiện:

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{y+1}+\sqrt{z+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

Cmr: x=y=z

Bài này giống đề vào 10 năm nào đó của ĐHSPHN 

giả sử z=max{x,y,z}

Ta có: 

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}-\sqrt{y+2}=\sqrt{z+2}-\sqrt{z+1}+\sqrt{z+3}-\sqrt{z+2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}=\frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}}$

Lại có 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}} & & \\ \frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}} & & \end{matrix}\right.$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ 

Tương tự với x,y ta có đpcm



#3
nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Bài này giống đề vào 10 năm nào đó của ĐHSPHN 

giả sử z=max{x,y,z}

Ta có: 

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}-\sqrt{y+2}=\sqrt{z+2}-\sqrt{z+1}+\sqrt{z+3}-\sqrt{z+2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}=\frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}}$

Lại có 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}} & & \\ \frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}} & & \end{matrix}\right.$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ 

Tương tự với x,y ta có đpcm

dạ đúng ạ



#4
Kiratran

Kiratran

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 296 Bài viết

hình như là năm 2012-2013 chị ạ

 

Bài này giống đề vào 10 năm nào đó của ĐHSPHN 

giả sử z=max{x,y,z}

Ta có: 

$\sqrt{x+1}+\sqrt{y+2}+\sqrt{z+3}=\sqrt{z+1}+\sqrt{x+2}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}+\sqrt{y+3}-\sqrt{y+2}=\sqrt{z+2}-\sqrt{z+1}+\sqrt{z+3}-\sqrt{z+2}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}+\frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}=\frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}}+\frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}}$

Lại có 

$\left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+2}+\sqrt{z+1}} & & \\ \frac{1}{\sqrt{y+3}+\sqrt{y+2}}\geq \frac{1}{\sqrt{z+3}+\sqrt{z+2}} & & \end{matrix}\right.$

Dấu $=$ xảy ra khi $x=y=z$ 

Tương tự với x,y ta có đpcm


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kiratran: 14-07-2017 - 11:22

Duyên do trời làm vương vấn một đời.






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: hệ phương trình, căn thức

2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh