Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=\frac{3}{2}$. Chứng minh: $\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{3\sqrt{33}}{2}$
$\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{3\sqrt{33}}{2}$
Bắt đầu bởi Sketchpad3356, 14-07-2017 - 12:17
bất đẳng thức và cực trị
#2
Đã gửi 14-07-2017 - 12:23
Hoang Dinh Nhat
-
- Thành viên
-
- 402 Bài viết
Sĩ quan
Cho $a,b,c>0$ thỏa $a+b+c=\frac{3}{2}$. Chứng minh: $\sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{3\sqrt{33}}{2}$
Theo $Cauchy-Schwarz$, ta có: $\sqrt{(\frac{1}{2^2}+2^2+2^2)(a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2})}\geq \frac{a}{2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b}$
$\Rightarrow \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{33}}(\frac{a}{2}+\frac{2}{a}+\frac{2}{b})$
$\Rightarrow \sum \sqrt{a^2+\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\geq \frac{2}{\sqrt{33}}(\frac{a+b+c}{2}+4(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq \frac{2}{\sqrt{33}}(\frac{3}{4}+\frac{36}{a+b+c})=\frac{3\sqrt{33}}{2}$
Dấu '=' xảy ra khi: $a=b=c=\frac{1}{2}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 14-07-2017 - 12:31
- Sketchpad3356, MoMo123 và slenderman123 thích
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức và cực trị
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
