Chủ đề này có 3 trả lời

[Nguyenphuctang]

$$ \huge \text{Đề luyện tập Olympic marathon VMF khối 10 lần 3 tuần 3 tháng 7 2017}$$

Flie pdf:    ___thi_th__kh_i_10_l_n_3_tu_n_3_th_ng_7.pdf   117.49K   203 Số lần tải

 

$\boxed{\text{Bài 1:}}$

Chứng minh rằng nếu $(a^2-1,b^2-1,c^2-1)=1$ với $a,b,c \in  \mathbb{Z}$ thì 

$$(ab+c,bc+a,ac+b)=(a,b,c)$$

$\boxed{\text{Bài 2:}} $

Cho $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn:

$$\begin{cases} a^2 - ad + d^2 = 15 \\ b^2 - \sqrt{3}bd + d^2 = 5 \\ c^2 - \sqrt{2}cd + d^2 = 10 \end{cases}$$

Tính giá trị biểu thức: $ad-bc$ 

$ \boxed{\text{Bài 3:}} $

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn: $\sqrt{a^{4} + 3a} + \sqrt{b^{4} +3b} +\sqrt{c^{4} +3c} = 2(a^{2} +b^{2}+c^{2})$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

$$ P = \sum_{cyc} \dfrac{a^{3} +2a+3ab +2b^2}{a(b^2 + a)}  $$ 

$ \boxed{\text{Bài 4:}} $

Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp là $I$, ngoại tiếp là $O $. Gọi $A' = AI \cap BC$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA, AB$ lần lượt tại $D,E$ và $F$. 

a)Gọi $P = (AA'D) \cap (ABC) $. Tương tự như vậy ta có $Q,R$. Chứng minh rằng: $DP, EQ , FR$ đồng quy trên $OI$

b)  Gọi $X= IP \cap EF$. Tương tự ta dựng $Y,Z$. Chứng minh rằng $AX, BY$ và $CZ$ đồng quy tại một điểm thuộc $OI$.

$ \boxed{\text{Bài 5: }} $

Có bao nhiêu bộ ba $(a,b,cn)$ với $a,b,c \in \mathbb{N} $ ,$ 0 \leq a<b<c \leq  n-1$, $n$ là số tự nhiên ,$n \geq 3$ sao cho $a+b+c$ chia hết cho $n$ ? 

Biên soạn: Nguyễn Hoàng Nam - Nguyễn Minh Quang - Trịnh Đình Triển.

Đề lần 3 cho khối 10 thường sẽ được bạn Hoàng Khánh đăng sau. Còn đề 11 chuyên vẫn còn đang làm bởi anh Lê Hoàng Bảo (Baoriven) Và Nguyễn Minh Quang (I LOVE MC)

Riêng về bài hình câu a: Bài này tác giả trích từ $1$ bài hình của Nga. Còn câu b là do anh Nam sáng tác. (Ghi như thế để tránh hiểu nhầm).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nguyenphuctang: 17-07-2017 - 22:01

[phuocchubeo]

Câu $1$:

Dễ thấy $(a,b,c) \mid (ab+c,bc+a,ca+b)$.

Ta cần chứng minh $(ab+c,bc+a,ca+b) \mid (a,b,c)$.

Thật vậy, đặt $(ab+c,bc+a,ca+b)=d$.

Ta có: $d \mid a^2(ca+b)-a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(a^2-1)$. Tương tự ta có $d \mid ac(c^2-1)$.

Ta cũng có $d \mid ab(bc+a)- a(ab+c) \Rightarrow d \mid ac(b^2-1)$.

Như vậy ta có: $\left\{\begin{matrix} d \mid ac(a^2-1)\\ d \mid ac(c^2-1)\\ d\mid ac(b^2-1) \end{matrix}\right.$

Ta lại có $(a^2-1,b^2-1,c^2-1)=1$ nên dễ thấy $d \mid ac$ mà $d \mid ac+b$ nên $d \mid b$.

Tương tự ta có $d \mid a, d \mid c$.

Như vậy $d \mid (a,b,c)$.

Ta có điều phải chứng minh.

[IHateMath]

$\boxed{\text{Bài 5}}$.

Đáp số: $\frac{n^2-3n+6}{6}$ nếu $3|n$ và $\frac{n^2-3n+2}{6}$ nếu $3\not |n$.

Do $a+b+c<3n$, nên có hai trường hợp có thể xảy ra:

$\bullet $ Trường hợp 1. $a+b+c=n$.

Trước hết, ta đếm số bộ $(a,b,c)$, có tính đến thứ tự *, sao cho $0\leq a,b, c \leq n$ và $a+b+c=n$ (1). Theo bài toán chia kẹo Euler, số bộ như vậy là:

$$\binom{n+2}{2}.$$

Bây giờ, ta đếm số bộ $(a,b,c)$ như trên, nhưng với thêm điều kiện: Ít nhất hai trong ba số $a,b,c$ là giống nhau (2). Khi đó, ta xét phương trình:

$$2x+y=n,$$

có đúng $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$ nghiệm $(x,y)$.

Trong trường hợp $3|n$, trong số $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$ nghiệm kể trên thì có duy nhất một nghiệm mà $x,y$ giống nhau, tương ứng với bộ $\left(\frac{n}{3},\frac{n}{3},\frac{n}{3}\right)$; các nghiệm còn lại tương ứng với ba bộ $(x,x,y)$, $(x,y,x)$, $(y,x,x)$. Như vậy nếu $3|n$, số bộ có tính chất (2) là:

$$3\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1.$$

Còn trong trường hợp $3\not | n$, thi mỗi nghiệm $(x,y)$ tương ứng với ba bộ $(a,b,c)$ có thứ tự. Khi đó số bộ có tính chất (2) là:

$$3\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1\right).$$

Ngoài các bộ có tính chất (2), các bộ có tính chất (1) còn lại nếu không tính đến thứ tự sẽ thỏa mãn đề bài. Thật vậy, do $a,b,c$ phân biệt, nên điều kiện $0\leq a, b, c \leq n$ trở thành $0\leq a<b<c\leq n-1$. Suy ra số bộ như vậy là:

(i)

$\frac{1}{6}\left(\binom{n+2}{2}-3\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor -1\right)$ nếu $3|n$, và

(ii) 

$\frac{1}{6}\left(\binom{n+2}{2}-3\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1\right)\right)$ nếu $3\not | n$

(chia $6$ nhằm loại bỏ các hoán vị). $\square$

$\bullet $ Trường hợp 2. $a+b+c=2n$.

Đặt $a=n-A,b=n-B,n-C$ thì $1\leq C<B<A\leq n-1$ và $A+B+C=n$. Để ý rằng mỗi bộ $(A,B,C)$ tương ứng với duy nhất một bộ $(a,b,c)$, nên ta có thể đếm số bộ $(A,B,C)$. Mặt khác, số bộ $(A,B,C)$ lại đúng bằng số bộ $(a,b,c)$ trong trường hợp 1 trừ đi số bộ có dạng $(0,x,y)$ hay nói cách khác, trừ đi số nghiệm nguyên dương, không tính đến thứ tự $(x,y)$ của phương trình:

$$x+y=n.$$

Dễ thấy phương trình trên có đúng $\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ nghiệm $(x,y)$ như vậy, từ đó suy ra số bộ $(A,B,C)$. $\square$

 

Vậy, tóm lại, số bộ $(a,b,c)$ thỏa mãn đề bài là:

(i) 

nếu $3|n$.

(ii) 

nếu $3\not | n$.

 

* Note: cặp có thứ tự $(a,b)$ thì khác với cặp $(b,a)$ nếu $a\ne b$. Tương tự như thế với các bộ có $n$ số.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 17-07-2017 - 16:16

[viet9a14124869]

 

$ \boxed{\text{Bài 4:}} $

Cho tam giác $ABC$ với tâm nội tiếp là $I$, ngoại tiếp là $O $. Gọi $A' = AI \cap BC$. Đường tròn $(I)$ tiếp xúc với $BC,CA, AB$ lần lượt tại $D,E$ và $F$. 

a)Gọi $P = (AA'D) \cap (ABC) $. Tương tự như vậy ta có $Q,R$. Chứng minh rằng: $DP, EQ , FR$ đồng quy trên $OI$

b)  Gọi $X= IP \cap EF$. Tương tự ta dựng $Y,Z$. Chứng minh rằng $AX, BY$ và $CZ$ đồng quy tại một điểm thuộc $OI$.

 

Lời giải của mình : 

Câu a, Giả sử PD cắt OI và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M , A'' . Ta có : 

$\widehat{PAA'}=\widehat{PDB}=\frac{1}{2}\widehat{POB}+\frac{1}{2}\widehat{A"OC}=\widehat{PAB}+\widehat{CAA"}\Rightarrow \widehat{CAA"}=\widehat{BAA'}=\frac{1}{2}\widehat{BAC}\Rightarrow \overline{A,A',A"}$

Gọi r,R là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác ABC . Do A" là điểm chính giữa cung BC( không chứa A ) nên OA"  song song với ID.

Theo định lý Thales dạng đại số : $\frac{\overline{MI}}{\overline{MO}}=\frac{\overline{ID}}{\overline{OA"}}=\frac{r}{R}$

Suy ra M cố định . Làm tương tự như trên ta chứng minh được DP,EQ,FR đồng quy tại điểm M nằm trên OI ( đpcm) . 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viet9a14124869: 13-04-2018 - 18:58