$\boxed{\text{Bài 5}}$.
Đáp số: $\frac{n^2-3n+6}{6}$ nếu $3|n$ và $\frac{n^2-3n+2}{6}$ nếu $3\not |n$.
Do $a+b+c<3n$, nên có hai trường hợp có thể xảy ra:
$\bullet $ Trường hợp 1. $a+b+c=n$.
Trước hết, ta đếm số bộ $(a,b,c)$, có tính đến thứ tự *, sao cho $0\leq a,b, c \leq n$ và $a+b+c=n$ (1). Theo bài toán chia kẹo Euler, số bộ như vậy là:
$$\binom{n+2}{2}.$$
Bây giờ, ta đếm số bộ $(a,b,c)$ như trên, nhưng với thêm điều kiện: Ít nhất hai trong ba số $a,b,c$ là giống nhau (2). Khi đó, ta xét phương trình:
$$2x+y=n,$$
có đúng $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$ nghiệm $(x,y)$.
Trong trường hợp $3|n$, trong số $\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+1$ nghiệm kể trên thì có duy nhất một nghiệm mà $x,y$ giống nhau, tương ứng với bộ $\left(\frac{n}{3},\frac{n}{3},\frac{n}{3}\right)$; các nghiệm còn lại tương ứng với ba bộ $(x,x,y)$, $(x,y,x)$, $(y,x,x)$. Như vậy nếu $3|n$, số bộ có tính chất (2) là:
$$3\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1.$$
Còn trong trường hợp $3\not | n$, thi mỗi nghiệm $(x,y)$ tương ứng với ba bộ $(a,b,c)$ có thứ tự. Khi đó số bộ có tính chất (2) là:
$$3\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1\right).$$
Ngoài các bộ có tính chất (2), các bộ có tính chất (1) còn lại nếu không tính đến thứ tự sẽ thỏa mãn đề bài. Thật vậy, do $a,b,c$ phân biệt, nên điều kiện $0\leq a, b, c \leq n$ trở thành $0\leq a<b<c\leq n-1$. Suy ra số bộ như vậy là:
(i)
$\frac{1}{6}\left(\binom{n+2}{2}-3\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor -1\right)$ nếu $3|n$, và
(ii)
$\frac{1}{6}\left(\binom{n+2}{2}-3\left(\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor +1\right)\right)$ nếu $3\not | n$
(chia $6$ nhằm loại bỏ các hoán vị). $\square$
$\bullet $ Trường hợp 2. $a+b+c=2n$.
Đặt $a=n-A,b=n-B,n-C$ thì $1\leq C<B<A\leq n-1$ và $A+B+C=n$. Để ý rằng mỗi bộ $(A,B,C)$ tương ứng với duy nhất một bộ $(a,b,c)$, nên ta có thể đếm số bộ $(A,B,C)$. Mặt khác, số bộ $(A,B,C)$ lại đúng bằng số bộ $(a,b,c)$ trong trường hợp 1 trừ đi số bộ có dạng $(0,x,y)$ hay nói cách khác, trừ đi số nghiệm nguyên dương, không tính đến thứ tự $(x,y)$ của phương trình:
$$x+y=n.$$
Dễ thấy phương trình trên có đúng $\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$ nghiệm $(x,y)$ như vậy, từ đó suy ra số bộ $(A,B,C)$. $\square$
Vậy, tóm lại, số bộ $(a,b,c)$ thỏa mãn đề bài là:
(i)
nếu $3|n$.
(ii)
nếu $3\not | n$.
* Note: cặp có thứ tự $(a,b)$ thì khác với cặp $(b,a)$ nếu $a\ne b$. Tương tự như thế với các bộ có $n$ số.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 17-07-2017 - 16:16