Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c-1 \right )$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
Ben Beck

Ben Beck

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 18 Bài viết

Cho a,b,c dương: abc=1

Cm:$\sum \frac{a}{b}\geq \frac{3}{2}\left ( a+b+c-1 \right )$



#2
shinichigl

shinichigl

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 135 Bài viết

Trong 3 số (a-1), (b-1), (c-1) luôn luôn có 2 số cùng không âm hoặc không dương. Giả sử (a-1) và (b-1) cùng không âm hoặc cùng không dương
Khi đó ta có: (a-1)(b-1)$\geq 0$ (*)

Từ đề bài: $a=\frac{1}{bc}$. Ta cần chứng minh $\frac{1}{b^{2}c}+\frac{b}{c}+bc^{2}\geq \frac{3}{2}\left ( \frac{1}{bc}+b+c-1 \right )$

Ta lại có:

$\frac{1}{b^{2}c}+\frac{b}{c}+bc^{2}=\left ( \frac{1}{2b^{2}c}+\frac{b}{c} \right )+\left ( \frac{1}{2b^{2}c}+bc^{2} \right )$

$\geq\frac{3}{2} \left ( \sqrt[3]{\frac{1}{b^{2}c}.\left ( \frac{b}{c} \right )^{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{b^{2}c}.\left ( bc^{2} \right )^{2}} \right )$

$=\frac{3}{2}\left ( \frac{1}{c}+c \right )$

Mặt khác: $\frac{1}{c}+c\geq \frac{1}{bc}+b+c-1\Leftrightarrow \frac{1}{c}+1-\frac{1}{bc}-b\geq 0\Leftrightarrow \left ( b-1 \right )\left ( \frac{1}{bc}-1 \right )\geq 0\Leftrightarrow \left ( b-1 \right )\left ( a-1 \right )\geq 0$ Đúng theo (*)
Vậy bđt được chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi shinichigl: 15-07-2017 - 22:22





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh