Chủ đề này có 3 trả lời

[Saitohsuzuko001]

Cho $x,y,z\geq 0$, $x+y+z=3$

Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}$

[Hoang Dinh Nhat]

Cho $x,y,z\geq 0$, $x+y+z=3$

Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}$

 

Ta có BĐT phụ: $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{2(a+b)}$

$\Rightarrow P\leq \sqrt{2(x^3y+y^3z+z^3x+xy^3+yz^3+zx^3)}$$= \sqrt{2(xy(x^2+y^2)+zx(z^2+x^2)+yz(y^2+z^2))}$

Ta có: $\sqrt{2(xy(x^2+y^2)+zx(z^2+x^2)+yz(y^2+z^2))}\leq \sqrt{2(xy(x^2+y^2+z^2)+zx(y^2+z^2+x^2)+yz(x^2+y^2+z^2))}\leq \sqrt{2(x^2+y^2+z^2)(xy+yz+zx)}$

Theo $AM-GM$, ta có: $(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)\leq \frac{1}{2}.\frac{(2(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2)^2}{4}=\frac{(x+y+z)^4}{8}$

$\Rightarrow \sqrt{2(xy+yz+zx)(x^2+y^2+z^2)}\leq \sqrt{\frac{(x+y+z)^4}{4}}=\frac{9}{2}$

Đạt tại: $(x;y;z)=(\frac{3}{2};\frac{3}{2};0)$ và các hoán vị

Vậy $Max$ của $P$ là $\frac{9}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Dinh Nhat: 16-07-2017 - 07:56

[slenderman123]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-07-2017 - 08:55

[slenderman123]

Cho $x,y,z\geq 0$, $x+y+z=3$

Tìm GTLN của $P=\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}+\sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}$

Nhận xét:$Q=(x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+ (xy^{3}+yz^{3}+zx^{3})\leq (x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+ (xy^{3}+yz^{3}+zx^{3})+xyz(x+y+z)= xy(x^{2}+y^{2}+z^{2})+yz(x^{2}+y^{2}+z^{2})+zx(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(xy+yz+zx)(x^{2}+y^{2}+z^{2})$

Đặt $xy+yz+zx=t$ suy ra $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9-2t$

Suy ra $Q=t(9-2t)=9t-2t^{2}=-2(t-\frac{9}{4})^{2}+\frac{81}{8}\leq \frac{81}{8}$

$\Rightarrow (x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x)+ (xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}) \leq \frac{81}{8}$

Đến đây đặt $\sqrt{x^{3}y+y^{3}z+z^{3}x}=u; \sqrt{xy^{3}+yz^{3}+zx^{3}}=v$

Suy ra $u^{2}+v^{2} \leq \frac{81}{8}\Rightarrow P=u+v \leq \sqrt{2(u^{2}+v^{2})} \leq \frac{9}{2}$

Dấu đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow x=y=\frac{3}{2},z=0$ và các hoán vị của chúng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 16-07-2017 - 10:15