Đến nội dung


Hình ảnh

Truần 3 tháng 7/2017: đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDP$ đi qua $M$

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4227 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 17-07-2017 - 04:23

Như vậy lời giải cho bài Tuần 2 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và anh Trần Quang Huy. Xin trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kína $AC$ và $\angle BAD>90^{\circ}$. Gọi $F$ là hình chiếu của $B$ lên $AC$. $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BD$. Gọi $Q$ đối xứng $C$ qua $OI$. $M$ là trung điểm của đoạn thẳng $OQ$. $G$ là điểm đối xứng của $B$ qua $F$. $OI$ cắt $BC$ tại $P$. Gỉa sử $BF,OI$ và $AD$ đồng quy, chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác $GDP$ đi qua $M$.

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$ có $I$ là trung điểm $BC$ và $P$ là điểm bất kì nằm trên phân giác góc $\angle BAC$. $PI$ cắt $(PBC)$ và phân giác ngoài góc $\angle BAC$ tại $D,K$ tương ứng. Dựng hìnt thang cân $DCBM$ với $BC \parallel DM$. Chứng minh rằng $KA$ phân giác ngoài góc $\angle MKD$.

 

Screen Shot 2017-07-17 at 7.20.23 AM.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Zaraki: 17-07-2017 - 04:23

“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 17-07-2017 - 09:48

Lời giải bài 1 : 

Ta giả sử $OI , AD, BF$ đồng quy tại điểm $T$ . Khi đó ta có $\angle TBD = \angle TDB = 90 - \angle BDC = 90 - \angle (AC,BD)$
Vậy nếu gọi $E$ là giao điểm của $AC$ với $BD$ thì $\triangle CED , \triangle BEA$ lần lượt cân tại $C,B$
Từ đây suy ra $BF$ là phân giác $\angle ABD$ nên $\angle AGB = \angle ABG = \angle GBD$. Từ đây có $AG \parallel BD$ . Lại có $CQ \parallel BD$ nên $GQ$ là đường kính của $(O)$
Ta có tứ giác $BFIO$ nội tiếp do có $\angle F = \angle I = 90$ nên $\angle PCA = \angle ADB = \angle TBI = \angle FOI = \angle POC$ . Suy ra $P$ là tâm $(OCQ)$ \implies $PM \perp OQ \equiv GQ$
Mặt kahsc , $Q,C$ đối xứng nhau qua $OI$ và $B,D$ cũng đối xứng qua $O,I$ nên $D,P,Q$ thằng hàng  nên $\angle GDP = 90$
Vậy 4 điểm $G,D,P,M$ đồng viên trên đường tròn $(PG)$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 17-07-2017 - 09:53


#3 manhtuan00

manhtuan00

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 17-07-2017 - 09:50

Lời giải bài 2 :
Gọi $U,V$ là điểm chính giữa cung lớn, cung nhỏ $BC$ , $H$ là chân đường phân giác ngoài tại đỉnh $A$  , $AP$ cắt $(BCP)$ tại $T$ 
Ta có : $T(AM,BC) = (PM,BC) = D(PM,BC) = D(IM,BC) = -1$ nên $T,M,H$ thằng hàng
Lại có $HM.HT = HB.HC = HA.HU$ nên $UAMT$ nội tiếp, suy ra $\angle UMT = 90$
Gọi $UM,UD$ lần lượt cắt $BC$ tại $X,Y$, trung trực $BC$ cắt $HT$ tại $Z$ ,khi đó $IU.IV = IB.IC = ID.IP$ nên tứ giác $PUDV$ nội tiếp
Suy ra $ \angle PDU = \angle PVU = \angle UHB$, từ đây có tứ giác $HAYD$ nội tiếp nên $UA.UH = UY.UD = UX.UM $
Suy ra tứ giác $KHMX$ nội tiếp . Từ đây có $KX \perp UH $ , suy ra $K,X,Z$ thẳng hàng
Ta có $\angle MKX = \angle MHX = \angle ZMD = \angle ZDM$ nên tứ giác $KMZD$ nội tiếp . Mà $ZM = ZD$ nên $Z$ là điểm chính giữa cung nhỏ
Từ đây ta có $KZ$ là phân giác trong $\angle MKD$ , mà $KZ \perp KA$ nên $KA$ là phân giác ngoài, ta có điều cần chứng minh

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 17-07-2017 - 09:50


#4 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1556 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 17-07-2017 - 16:07

Lời giải bài 2. 

Gọi $R, J$ là điểm chính giữa cung lớn, cung nhỏ $BC$ của $(ABC)$. Gọi $T$ là tâm của $(RKD)$

Ta có: $IJ.IR = IB.IC = IP.ID$ nên $P, J, D, R$ đồng viên.

Do đó $\angle ART = \angle KRT = 90^o - \angle PDT = 90^o - \angle AJR =\angle ARJ$ nên $T$ thuộc trung trực $BC$

Như vậy $TM=TD$ nên $K, M, D, R$ đồng viên. Mà $R$ là điểm chính giữa cung $MD$ nên $KA$ là phân giác $MKD$.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh