Đến nội dung


Hình ảnh

Đề luyện tập olympic khối 11 tuần 3 tháng 7


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 17-07-2017 - 22:19

Bài 1: Tìm tất cả các hàm số $f:[0,+\infty) \rightarrow [0,+\infty)$ thỏa mãn :
$$f(x)=\max_{y \in [0,+\infty)} {xy(x+y)-f(y)},\forall x \in [0,+\infty)$$
Bài 2: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số nguyên sao cho tồn tại số $X$ để :
$$P(n)|n^{n-1}-1,\forall n \in \mathbb{N}.n \ge X$$
Bài 3 : Cho $k \ge 1$. Chứng minh tồn tại số nguyên tố $p$ và dãy tăng nghiêm ngặt $a_1,a_2,...$ thỏa mãn $p+ka_1,p+ka_2,..$ là số nguyên tố
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(O)$, điểm $Q$ nằm ngoài $(O)$ ,$2$ tiếp tuyến $QK,QL$ giao của $KL$ và $OQ$ là $P$. Hình chiếu của $P$ lên $BC,AC,AB$ là $D,E,F$ và hình chiều của $Q$ lên $BC,AC,AB$ là $X,Y,Z$ . Chứng tỏ :
a) $\triangle{DEF} ~ \triangle{XYZ}$
b) $(DEF),(XYZ)$ và đường tròn Ơ-le của $\triangle{ABC}$ đồng quy.
Bài 5: Cho $200$ thí sinh thi học sinh giỏi ở một nước $A$, họ phải giải $6$ bài trong cả kì thi. Biết mỗi câu hỏi thì có ít nhất $120$ làm được. Chứng minh tồn tại $2$ người mà mỗi bài đều làm được bởi $1$ trong $2$ người.
Biên soạn : Nguyễn Minh Quang-Nguyễn Hoàng Nam-Nguyễn Hoàng Tùng Lâm
I Love MC lấy nick mình post đề này :3


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi huykinhcan99: 18-07-2017 - 13:39


#2 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2017 - 09:50

Bài 2 (Gabriel Dospinescu ) . Thôi spoiler quá :)



#3 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 18-07-2017 - 10:21

Bài 3. Sử dụng dạng yếu của định lý Dirichlet: tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng $nk+1$ với $k$ cố định (chứng minh sơ cấp cái này có thể tham khảo đáp án của Olympic toán học HS - SV năm nay)

Chọn $p \equiv 1 \pmod k$ thì hiển nhiên tồn tại một dãy $a_n$ thỏa mãn bài toán.



#4 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 26 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 18-07-2017 - 10:37

Bài 5. Ta ký hiệu $a_i$ ($i=\overline{1,200}$) là các học sinh, $A_i$ ($i=\overline{1,6}$) là các bài toán, $\left | A_i \right |$ là số học sinh giải được bài toán $A_i$, $F(a_i)$ là tập các bài toán mà $a_i$ giả được. Bài toán tương đương với việc chứng minh tồn tại $i,j$ sao cho $F(a_i)\cup F(a_j)=\left \{ A_i|i=\overline{1,6} \right \}$

Gọi $S$ là số cặp $(a_i,A_j)$ mà học sinh $a_i$ giải được bài toán $A_j$.

Đếm theo $A_i$ : $S\geq 720$

Đếm theo $a_i$ : $S=\sum \left | F(a_i) \right |$

$\Rightarrow $ tồn tại $a_i$ mà $\left | F(a_i) \right |\geq 4$

Mặt khác theo nguyên lý bù trừ, $\left | A_i\cap A_j \right |=\left | A_i \right |+\left | A_j \right |-\left | A_i\cup A_j \right |\geq 120 +120-200=40$ nên với mỗi cặp bài toán thì tồn tại ít nhất $40$ học sinh giả được cả hai bài toán đó.

Chọn học sinh $a_j$ giải được các bài còn lại của $a_i$ ta thu được điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Donald Trump: 18-07-2017 - 10:39


#5 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2017 - 10:44

Mình là người ra cái bài 5 này . Thật ra là nó là đề OLympic SV Quốc tế IMC 2002 và Bulagria TST năm nào đó, chắc chắn là rất quen thuộc với tất cả mọi người. Bài này có cách dùng phương pháp xác xuất hay lắm 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lamNMP01: 18-07-2017 - 10:44


#6 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-07-2017 - 10:47

Bài 3. Sử dụng dạng yếu của định lý Dirichlet: tồn tại vô hạn số nguyên tố dạng $nk+1$ với $k$ cố định (chứng minh sơ cấp cái này có thể tham khảo đáp án của Olympic toán học HS - SV năm nay)

Chọn $p \equiv 1 \pmod k$ thì hiển nhiên tồn tại một dãy $a_n$ thỏa mãn bài toán.

 

Tổng quát nhất có lẽ là định lý Green- Tao cho dãy đa thức nguyên 



#7 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 22-07-2017 - 10:01

Bản pdf: File gửi kèm  M_u.pdf   111.14K   17 Số lần tải






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh