Chủ đề này có 2 trả lời

[nthkhnimqt]

Trong không gian $C\left( {\left[ {0,1} \right],\mathbb{R}} \right)$, để kiểm tra một tập có tiền compact hay không ta dùng tiêu chuẩn Ascoli. Vậy trong không gian ${C^1}\left( {\left[ {0,1} \right],\mathbb{R}} \right)$ với chuẩn 

\[{\left\| f \right\|_{{C^1}}} = {\left\| f \right\|_C} + {\left\| {{f^\prime }} \right\|_C}\]

thì có tiêu chuẩn kiểm tra nào không? :embarrassed:

[WhjteShadow]

Định lí Arzelà-Ascoli cho phép ta kiểm tra một tập có compact hay không chứ nhỉ? Mạnh hơn là tính chất tiền compact mà bạn nêu.

 

Trong không gian $C^1([0,1],\mathbb{R})$ thì mình chưa biết có tiêu chuẩn nào, tự hỏi là không biết tiêu chuẩn Arzelà-Ascoli còn áp dụng được không? Bạn có thể cho ra một ví dụ mà định lí Arzelà-Ascoli không còn đúng với chuẩn mà bạn nêu được không?

 

Còn liên quan đến Arzelà-Ascoli thì có hai định lí sau (nhưng có vẻ không liên quan đến câu hỏi lắm )

https://en.wikipedia...lection_theorem

https://en.wikipedia...mogorov_theorem

[nthkhnimqt]

Mình chỉ mới nghĩ ra điều kiện đủ thôi. Giả sử mình cần kiểm tra $F$ compact tương đối trong $C^1$. Nếu $F^\prime$ là tiền compact trong $C^0$ với

\[{F^\prime } = \left\{ {{f^\prime }:f \in F} \right\}\]

và $f\left( 0 \right) =A= const$ với mọi $f \in F$ thì $F$ là compact tương đối trong $C^1$.

Giả sử $F^\prime$ là tiền compact trong $C^0$. Khi đó với mỗi dãy ${f_n} \in F$ thì tồn tại $g$ và dãy con $f_{{n_k}}^\prime $ sao cho

\[f_{{n_k}}^\prime  \rightrightarrows g\]

Ta có

\[{f_{{n_k}}}\left( t \right) = \int\limits_0^t {f_{{n_k}}^\prime \left( s \right){\text{d}}s}  + {f_{{n_k}}}\left( 0 \right)\]

Do đó

\[\left| {{f_{{n_k}}}\left( t \right) - \left( {\int\limits_0^t {g\left( s \right){\text{d}}s}  + A} \right)} \right| = \left| {\int\limits_0^t {f_{{n_k}}^\prime \left( s \right){\text{d}}s}  - \int\limits_0^t {g\left( s \right){\text{d}}s} } \right| \leqslant {\left\| {f_{{n_k}}^\prime  - g} \right\|_{{C^0}}}\]

Vậy ta có đpcm.

Mình bổ sung giả giá trị $f$ tại 0 là hằng số vì mình dùng cái này để chứng minh sự tồn tại nghiệm của hệ pt tích phân bằng định lý điểm bất động Schauder.