Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Cmr:$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$

bđt

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 cristianoronaldo

cristianoronaldo

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 231 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Sông Lô-Vĩnh Phúc
  • Sở thích:Toán học, bóng đá,...

Đã gửi 18-07-2017 - 19:51

Bài toán:

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$


Nothing in your eyes


#2 Baoriven

Baoriven

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1242 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:$\boxed{\textrm{CTG}}$ $\boxed{\textrm{~1518~}}$
  • Sở thích:$\mathfrak{MATHS}$

Đã gửi 18-07-2017 - 21:36

Mình chỉ làm thử nhé 

Chuẩn hóa $abc=1$.

Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2},a>0,b>0,c>0,abc=1$.

Đặt: $f(a,b,c)=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$.

Ta có: $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ ( mình đã kiểm tra đúng nhưng phân tích SOS chưa được ).

Từ đó, ta cần chứng minh: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq \frac{3}{2}$.

Ta có: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}$.

Ta chỉ cần chứng minh: $\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+2)(a-\sqrt{a}+1)\geq 0$. (đúng)

Ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-07-2017 - 09:14

$\mathfrak{LeHoangBao - 4M - CTG1518}$

#3 Hoang Dinh Nhat

Hoang Dinh Nhat

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 402 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị
  • Sở thích:Gái và toán

Đã gửi 18-07-2017 - 22:01

 

BĐT này không thuần nhất mà phải ko nhỉ


Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc

 

 

 

 


#4 Nike Adidas

Nike Adidas

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
  • Sở thích:Hate Math but love Plane Geometry, One Piece

Đã gửi 18-07-2017 - 22:18

thuần nhất đó bạn


" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.


#5 I am the King

I am the King

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

Đã gửi 18-07-2017 - 22:59

Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.

Suy ra tồn tại 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{y}\\ b=\frac{z}{x}\\ c=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.$

Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Vasc ta có:

$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum y^3z}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\frac{1}{3}.(\sum y^2)^2+\frac{1}{3}(\sum y^2)^2}=\frac{3}{2}$

Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=1$







1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh