Bài toán:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Đã gửi 18-07-2017 - 19:51
Bài toán:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Nothing in your eyes
Đã gửi 18-07-2017 - 21:36
Mình chỉ làm thử nhé
Chuẩn hóa $abc=1$.
Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2},a>0,b>0,c>0,abc=1$.
Đặt: $f(a,b,c)=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$.
Ta có: $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ ( mình đã kiểm tra đúng nhưng phân tích SOS chưa được ).
Từ đó, ta cần chứng minh: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq \frac{3}{2}$.
Ta có: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}$.
Ta chỉ cần chứng minh: $\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+2)(a-\sqrt{a}+1)\geq 0$. (đúng)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-07-2017 - 09:14
Đã gửi 18-07-2017 - 22:01
BĐT này không thuần nhất mà phải ko nhỉ
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
Đã gửi 18-07-2017 - 22:18
thuần nhất đó bạn
" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.
Đã gửi 18-07-2017 - 22:59
Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.
Suy ra tồn tại 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{y}\\ b=\frac{z}{x}\\ c=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.$
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Vasc ta có:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum y^3z}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\frac{1}{3}.(\sum y^2)^2+\frac{1}{3}(\sum y^2)^2}=\frac{3}{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho x,y,z>0 thỏa mãn xy+yz+xz=1. Tìm Min P=$x^{2}+2y^{2}+5z^{2}$Bắt đầu bởi daiphong0703, 31-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
[TOPIC] ÔN THI BẤT ĐẲNG THỨC $\boxed{\text{THPT CHUYÊN}}$ NĂM HỌC 2020-2021Bắt đầu bởi Syndycate, 30-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z>0;x^3+y^3+z^3=3$. Tìm Min, Max $T=\sum\frac{xy}{z}$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 08-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Cho $x,y,z\geq 0;x^2+y^2+z^2=3$. Tìm Max $P=6(y+z-x)+27xyz$Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 04-01-2021 ![]() |
|
![]() |
||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $\sqrt{7x^2-22x+28}+\sqrt{7x^2+8x+13}+\sqrt{31x^2+14x+4}\geq 3\sqrt{3}(x+2)$.Bắt đầu bởi Tan Thuy Hoang, 30-12-2020 ![]() |
|
![]() |
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh