Bài toán:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Bài toán:
Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}$
Nothing in your eyes
Mình chỉ làm thử nhé
Chuẩn hóa $abc=1$.
Ta cần chứng minh: $\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}\geq \frac{3}{2},a>0,b>0,c>0,abc=1$.
Đặt: $f(a,b,c)=\frac{1}{a(a+b)}+\frac{1}{b(b+c)}+\frac{1}{c(c+a)}$.
Ta có: $f(a,b,c)\geq f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})$ ( mình đã kiểm tra đúng nhưng phân tích SOS chưa được ).
Từ đó, ta cần chứng minh: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})\geq \frac{3}{2}$.
Ta có: $f(a,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}$.
Ta chỉ cần chứng minh: $\frac{a}{2}+\frac{1+a\sqrt{a}}{a^2+\sqrt{a}}\geq \frac{3}{2}\Leftrightarrow (\sqrt{a}-1)^2(\sqrt{a}+1)(\sqrt{a}+2)(a-\sqrt{a}+1)\geq 0$. (đúng)
Ta có đpcm.
Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-07-2017 - 09:14
$$\mathbf{\text{Every saint has a past, and every sinner has a future}}.$$
BĐT này không thuần nhất mà phải ko nhỉ
Chấp nhận giới hạn của bản thân, nhưng đừng bao giờ bỏ cuộc
thuần nhất đó bạn
" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.
Do tính thuần nhất ta có thể chuẩn hóa $abc=1$.
Suy ra tồn tại 3 số thực dương x,y,z thỏa mãn:$\left\{\begin{matrix} a=\frac{x}{y}\\ b=\frac{z}{x}\\ c=\frac{y}{z}\end{matrix}\right.$
Như vậy, ta chỉ cần chứng minh:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{3}{2}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và Vasc ta có:
$\sum \frac{y^2}{x^2+yz}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\sum x^2y^2+\sum y^3z}\geq \frac{(\sum y^2)^2}{\frac{1}{3}.(\sum y^2)^2+\frac{1}{3}(\sum y^2)^2}=\frac{3}{2}$
Dấu $''=''$ xảy ra khi $a=b=c=1$
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
$M= \frac{1}{a^2 +4b^2 +2} + \frac{1}{4b^2+9c^2+2} + \frac{1}{9c^2+a^2+2}$Bắt đầu bởi katcong, 26-03-2024 bđt, toan 9, vao 10, cuc tri |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng minh $a+b+c\geq4\left(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ca}+\frac{c}{ab}\right)+5$Bắt đầu bởi Leonguyen, 07-06-2023 bđt, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=(4x-1)(3y-1)(2z-1)$Bắt đầu bởi Leonguyen, 20-04-2023 bđt |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Tìm GTLN của $Q=\frac{x+1}{\sqrt{x^2+3}}+\frac{x+1}{\sqrt{3x^2+1}}$Bắt đầu bởi Leonguyen, 30-03-2023 bđt, cực trị, bất đẳng thức |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Bất đẳng thức và cực trị →
Chứng Minh Rằng $\frac{1}{A^2} + \frac{1}{B^2} + \frac{1}{C^2} \geq 3$Bắt đầu bởi nguyetnguyet829, 16-03-2023 bđt |
|
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh