Đến nội dung


Hình ảnh

58th IMO 2017

imo 2017

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 27 trả lời

#1 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 284 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 19-07-2017 - 01:00

Kỳ thi Olympic Toán Quốc Tế lần thứ 58

Brazil, 2017

Ngày thi thứ nhất (18/07/2017)

 

 

 

Bài 1Với mỗi số nguyên bất kỳ $a_0>1$, xét dãy số $a_0, a_1, a_2, \dots$ xác định bởi:

$a_{n+1}=\sqrt{a_n}$ nếu $\sqrt{a_n}$ là số nguyên,

$a_{n+1}=a_n+3$ trong trường hợp ngược lại,

với mỗi số nguyên $n\geq 0$.

Hãy xác định tất cả các số $a_0$ sao cho tồn tại số $A$ mà $a_n=A$ với vô hạn số $n$.

 

Bài 2. Kí hiệu $\mathbb{R}$ là tập số thực. Hãy tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ sao cho với mọi số thực $x$ và $y$,

$$f(f(x)f(y)) + f(x+y) = f(xy).$$

 

Bài 3Một cô thợ săn và một con thỏ tàng hình chơi trò chơi sau trên mặt phẳng. Điểm xuất phát $A_0$ của con thỏ và điểm xuất phát $B_0$ của cô thợ săn trùng nhau. Sau $n-1$ lượt chơi, con thỏ ở điểm $A_{n-1}$ và cô thợ săn ở điểm $B_{n-1}$. Ở lượt chơi thứ $n$, có ba điều lần lượt xảy ra theo thứ tự dưới đây:

(i) Con thỏ di chuyển một cách không quan sát được tới điểm $A_n$ sao cho khoảng cách giữa $A_{n-1}$ và $A_n$ bằng đúng $1$.

(ii) Một thiết bị định vị thông báo cho cô thợ săn về một điểm $P_n$, đảm bảo khoảng cách giữa $P_n$ và $A_n$ không lớn hơn $1$.

(iii) Cô thợ săn di chuyển một cách quan sát được tới điểm $B_n$ sao cho khoảng cách giữa $B_{n-1}$ và $B_n$ bằng đúng $1$.

Hỏi điều sau đây sai hay đúng: cho dù con thỏ có di chuyển như thế nào và các điểm được thiết bị định vị thông báo có là những điểm nào, cô thợ săn luôn có thể chọn cho mình cách di chuyển sao cho sau $10^9$ lượt chơi, cô ta có thể khẳng định chắc chắn rằng khoảng cách giữa mình và con thỏ không vượt quá $100$?

 

 

 

 

Ngày thi thứ hai (19/07/2017)

 

 

 

Bài 4. Cho $R$ và $S$ là hai điểm phân biệt trên đường tròn $\Omega$ sao cho $RS$ không phải là đường kính. Cho $\ell$ là tiếp tuyến tại $R$ của $\Omega$. Lấy điểm $T$ sao cho $S$ là trung điểm của đoạn thẳng $RT$. Lấy điểm $J$ trên cung nhỏ $\overarc{RS}$ của $\Omega$ sao cho đường tròn ngoại tiếp $\Gamma$ của tam giác $JST$ cắt $\ell$ tại hai điểm phân biệt. Gọi $A $ là giao điểm gần $R$ nhất của $\Gamma$ và $\ell$. Đường thẳng $AJ$ cắt lại $\Omega$ tại $K$. Chứng minh rằng $KT$ tiếp xúc với $\Gamma$.

 

Bài 5. Cho số nguyên $N>2$. Có $N(N+1)$ cầu thủ bóng đá, trong đó không có hai người nào có cùng chiều cao, đứng thành một hàng ngang. Ngài Alex muốn đưa $N(N – 1)$ cầu thủ ra khỏi hàng sao cho ở hàng ngang mới nhận được, gồm $2N$ cầu thủ còn lại, $N$ điều kiện sau được đồng thời thỏa mãn:

(1) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ cao nhất,

(2) không có cầu thủ nào đứng giữa cầu thủ cao thứ ba và cầu thủ cao thứ tư,

$\dots$

($N$) không có cầu thủ nào đứng giữa hai cầu thủ thấp nhất.

Chứng minh rằng Ngài Alex luôn có thể làm được điều đó.

 

Bài 6. Cặp có thứ tự các số nguyên $(x, y)$ được gọi là điểm nguyên thủy nếu ước số chung lớn nhất của $x$ và $y$ bằng $1$. Cho tập $S$ gồm hữu hạn điểm nguyên thủy. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $n$ và các số nguyên $a_0,a_1,a_2,\dots ,a_{n-1},a_n$ sao cho với mỗi điểm $(x, y)$ thuộc $S$, ta có:$$a_0x^n+a_1x^{n-1}y+a_2x^{n-2}y^2+\cdots+a_{n-1}xy^{n-1}+a_ny^n=1.$$

 

 

--- Hết ---

 

Đề gốc: https://www.imo-offi...g/problems.aspx


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi IHateMath: 20-07-2017 - 09:18


#2 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 19-07-2017 - 06:40

Bài 1. Đáp số : $a_0\vdots 3$.

Nếu tồn tại $n_0$ sao cho $a_{n_0}\equiv 2\pmod 3$ thì $a_{n+1}=a_n+3$ với mọi $n\geq n_0$ hay $a_n$ tăng từ $n_0$ suy ra $a_n$ không thỏa mãn bài toán.

Do đó ta chỉ cần xét với $a_0\equiv 0,1 \pmod 3$

Giả sử tồn tại số $a_0$ mà $a_0\equiv 1\pmod 3$ thỏa mãn bài toán.

Theo nhận xét trên, $a_n\equiv 1\pmod 3$ với mọi $n$.

Xét một số $a_n$ bất kỳ, khi đó tồn tại $b_m$ sao cho $(3b_m)^2<a_n\leq (3b_m+1)^2$ 

$\Rightarrow $ tồn tại số $t$ sao cho $a_{n+t}=3b_m+1$

$\Rightarrow $ tồn tại số $b_{m+1}$ sao cho $(3b_{m+1})^2<3b_m+1\leq (3b_{m+1}+1)^2$

Do $3b_m+1>(3b_{m+1})^2$ nên $b_m>b_{m+1}$

Dãy $b_m$ này giảm ngặt nên với $m$ đủ lớn sẽ cho ta điều vô lý.

Bây giờ ta chứng minh nếu $a_0\vdots 3$ thì bài toán thỏa mãn.

Do $a_0\vdots 3$ nên $a_n\vdots 3$ với mọi $n$. Xét số $a_n$ bất kỳ

$\Rightarrow $ tồn tại số $m$ sao cho $m^2<a_n\leq (m+1)^2$.

Do trong ba số liên tiếp luôn tồn tại một số chia hết cho $3$ nên số chính phương chia hết cho $3$ nhỏ nhất không nhỏ hơn $n$ sẽ không lớn hơn $(m+3)^2$

Xét số $t$ sao cho $a_{n+t}+3$ là số chính phương $\Rightarrow $ $a_{n+t+1}\leq (m+3) < a_n$ nếu $m$ khác $1$.

Nếu $m$ $=$ $1$ suy ra $a_n=3$ suy ra $a_{n+t+1}=3=a_n$.

Do đó $a_n$ bị chặn bởi $(m+3)^2-3$ suy ra $a_n$ thỏa bài toán.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Donald Trump: 19-07-2017 - 07:51


#3 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 19-07-2017 - 13:27

 

i. Con thỏ di chuyển bí mật tới điểm $A_n$ mà $A_{n-1}$ cách $A_n$ đúng $1$.

iii. Thợ săn di chuyển tới điểm $B_n$ sao cho $B_n$ cách $B_{n-1}$ đúng $1$.

 

Em ggwp cách dịch ạ.


Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.


#4 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 19-07-2017 - 15:13

 

Liệu rằng, dù cho con thỏ di chuyển như thế nào cũng như máy dò báo những điểm nào, người thợ săn có thể chọn cách di chuyển của mình sao cho sau $10^9$ lượt thì anh ta chắc chắn rằng mình ở cách xa con thỏ không quá $100$.

Em góp ý chút : là "cô ấy" chứ không phải "anh ta"! :)



#5 tay du ki

tay du ki

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 199 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:VN
  • Sở thích:số hoc : định lí goldbach
    trở thành nhà toán học vĩ đại nhất thế giới

Đã gửi 19-07-2017 - 21:21

Ngày thi thứ hai 

https://drive.google...FRyNnBwems/view

Nguồn : Facebook Thầy Nguyễn Khắc Minh


   :ukliam2:  :ukliam2:   :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2: Tây du kí  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  :ukliam2:  

 

 

+Thiên nhiên ban cho ta cuộc sống không lâu dài, nhưng ký ức về một cuộc đời sống đẹp thì còn lại mãi mãi.

+Bắt đầu biết hối hận là bắt đầu một cuộc sống mới.

+ Ước mơ của một thằng đàn ông Sẽ không bao giờ kết thúc 

 

 

#6 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ams. Nơi của những câu chuyện cổ tích
  • Sở thích:Number theory :>. Chỉ đơn giản là thích làm toán..

Đã gửi 19-07-2017 - 22:12

Bài 5 : Erdos 1935 . Cho ab+1 số thực phân biệt , khi đó tồn tại 1 tập con a+1 hoặc b+1 số liên tiếp tăng hoặc giảm liên tiếp .

 

Áp dụng 2 lần cho n , ta có đpcm



#7 Nike Adidas

Nike Adidas

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 58 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Vĩnh Long
  • Sở thích:Plane Geometry, One Piece

Đã gửi 19-07-2017 - 22:41

bài hình không quá khó chắc đội tuyển ai cũng làm được


" Khi ta đã quyết định con đường cho mình, kẻ được nói ta ngu ngốc chỉ có bản thân ta mà thôi. " _ Rononoa Zoro.


#8 lenadal

lenadal

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Trường THPT Lê Hồng Phong Nam Định
  • Sở thích:số học

Đã gửi 19-07-2017 - 22:45

Ngày thi thứ hai 

https://drive.google...FRyNnBwems/view

Nguồn : Facebook Thầy Nguyễn Khắc Minh

Bài Hình nhìn vào việc cho trung điểm S  của RT và việc dễ có AT//RK thì nghĩ ngay đến tạo hình bình hành


Lê Đình Văn LHP    :D  :D  :D 

http://diendantoanho...150899-lenadal/


#9 Donald Trump

Donald Trump

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 19 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:White House
  • Sở thích:Làm nước Mỹ vĩ đại trở lại

Đã gửi 20-07-2017 - 07:26

Bài 5 : Erdos 1935 . Cho ab+1 số thực phân biệt , khi đó tồn tại 1 tập con a+1 hoặc b+1 số liên tiếp tăng hoặc giảm liên tiếp .

 

Áp dụng 2 lần cho n , ta có đpcm

Theo như v_Enhance trên AoPS thì bài này không giải được bằng cách sử dụng định lý Erdos Szekeres (https://artofproblem...2017_problem_5)(#4) ?



#10 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ams. Nơi của những câu chuyện cổ tích
  • Sở thích:Number theory :>. Chỉ đơn giản là thích làm toán..

Đã gửi 20-07-2017 - 09:01

Theo như v_Enhance trên AoPS thì bài này không giải được bằng cách sử dụng định lý Erdos Szekeres (https://artofproblem...2017_problem_5)(#4) ?

Có ai nói đó là cả bài đâu :) chỉ là 1 đoạn con thôi . Nếu giải bằng nó thật thì đã không phải IMO



#11 Uchiha sisui

Uchiha sisui

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 127 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 20-07-2017 - 09:45

Bài hình chỉ là mô hình hình bình hành mà thôi ! 



#12 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết

Đã gửi 20-07-2017 - 09:56

Bài 5 : Erdos 1935 . Cho ab+1 số thực phân biệt , khi đó tồn tại 1 tập con a+1 hoặc b+1 số liên tiếp tăng hoặc giảm liên tiếp .

Áp dụng 2 lần cho n , ta có đpcm

Mình k biết gì về định lý này nhưng nếu theo cách mình hiểu từ trên thì sao k áp dụng cho 1 tập con có n^2 +1 người. Khi đó chẳng phải có đpcm luôn sao?


P/S :mặc dù biết là mình hỏi ngu nhưng k thể nào giải đáp đc thắc mắc ấy

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Maytroi: 20-07-2017 - 10:16

:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#13 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 284 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 20-07-2017 - 10:14

Mình k biết gì về định lý này nhưng nếu theo cách mình hiểu từ trên thì sao k áp dụng cho 1 tập con có n^2 +1 người. Khi đó chẳng phải có đpcm luôn sao?


P/S :mặc dù biết là mình hỏi như nhưng k thể nào giải đáp đh thắc mắc ấy

Bạn chọn được $n+1$ người, rồi sao nữa?



#14 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết

Đã gửi 20-07-2017 - 10:20

Bạn chọn được $n+1$ người, rồi sao nữa?


Và n+1 người ấy có chiều cao giảm dần hoặc tăng dần. Khi đó sẽ k có người nào đứng giữa 2 người có chiều cao liên tiếp

:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#15 IHateMath

IHateMath

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 284 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Sở thích:Olympiad Math & Computer Sci

Đã gửi 20-07-2017 - 10:25

Và n+1 người ấy có chiều cao giảm dần hoặc tăng dần. Khi đó sẽ k có người nào đứng giữa 2 người có chiều cao liên tiếp

Đề bài là $2n$, và bạn chọn được $n+1$. Chẳng giải quyết được gì.



#16 Maytroi

Maytroi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 87 Bài viết

Đã gửi 20-07-2017 - 10:30

Đề bài là $2n$, và bạn chọn được $n+1$. Chẳng giải quyết được gì.

Ờ nha. Ths bạn :v

:ph34r:người đàn ông bí ẩn :ninja:


#17 Nguyenphuctang

Nguyenphuctang

    Sĩ quan

  • Banned
  • 499 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nghệ An
  • Sở thích:Đang tải

Đã gửi 20-07-2017 - 18:45

Câu hình: https://hinhhocphang...mo-2017-ngay-2/



#18 redfox

redfox

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:PTNK - ĐHQG TPHCM
  • Sở thích:wild animal, furry

Đã gửi 20-07-2017 - 20:21

Câu 6: Ta coi $gcd(0,1)=1$. Gọi các điểm của $S$ là $(x_1,y_1),...,(x_k,y_k)$.

1: $gcd(a_n,x_1...x_k)=1$ nếu tồn tại đa thức thỏa mãn (chú ý $a_ny^n\equiv 1(mod\; x_i)$).

2: Có thể coi $n\geq k$ và $a_n=1$.

Ta có đa thức $P$ thỏa mãn đề bài thì $P^p$ ($p$ nguyên dương) cũng thỏa hay $n$ thỏa mãn thì $pn$ cũng thỏa, ta chọn $p$ đủ lớn sao cho $pn\geq k$

Ta có đa thức $P$ có bậc $n\geq k$ thỏa mãn đề bài thì $P^p-qy^{pn-k}(x_1y-y_1x)...(x_ky-y_kx)$ ($p,q$ nguyên dương) cũng thỏa. Hệ số của $y^{np}$ là $a_n^p-qx_1...x_k$. Theo 1 và định lí Euler, tồn tại $p,q$ sao cho hệ số trên bằng $1$.

3: Có thể coi $(0,1)\in S$.

Ta có đa thức $P(x,y)$ thỏa mãn với $S$ khi và chỉ khi đa thức $P(x+y,y)$ thỏa mãn với $S'=\left \{(x_1-y_1,y_1);...;(x_n-y_n,y_n) \right \}$, các cặp số của $S'$ vẫn gồm các điểm nguyên thủy phân biệt. Bằng cách làm bước trên, thay đổi vai trò của $x,y$ và áp dụng thuật toán Euclid, ta có thể đưa $(x_1,y_1)$ về $(0,1)$.

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp với $k$:

$k=1$ dễ tồn tại đa thức thỏa mãn (định lý Bezout).

Giả sử $k-1$ đúng, áp dụng 3, ta coi $(0,1)\in S$. Theo giả thiết quy nạp, tồn tại đa thức $P$ thỏa mãn với $k-1$ cặp số còn lại. Áp dụng 2, ta coi hệ số $y^n$ bằng $1$, dễ thấy đa thức này cũng đúng cho $(0,1)$ hay cho $S$.

(Q.E.D)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi redfox: 20-07-2017 - 21:45


#19 I Love MC

I Love MC

    Đại úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 1854 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Quốc Học
  • Sở thích:Number theory,Combinatoric

Đã gửi 20-07-2017 - 21:55

Bài 2: 
Đi vào bài toán xét $f(0)=0 \Rightarrow f(x)=0$ 
Bây giờ xét $f(0) \ne 0$. Gọi $P(u,v)$ là phép thế $x=u,y=v$ vào phương trình đề cho . 
$P(0,0) \Rightarrow f(f^2(0))=0$. Đặt $c=f^2(0)$. 
$P(c,\frac{c}{c-1}) \Rightarrow f(0)=0$ (vô lí). Suy ra $c=1$ hay $f(0)=1$ hay $f(0)=-1$. 
Tính được $f(1)=0$. Không mất tính tổng quát giả sử $f(0)=-1$

$P(x,1) \Rightarrow f(x+1)-1=f(x) \Rightarrow f(x+n)-f(x)=n (1)$ . Ta chứng minh $f$ là đơn ánh . 
Giả sử $f(x)=f(y) . Lấy $m \in \mathbb{Z}$ sao cho a+b=x+m+1,ab=y+m$ có nghiệm. 
$P(a,b) \Rightarrow f(f(a)f(b))+f(a+b)=f(ab)=f(f(a)f(b))+f(x+m+1)=f(y+m)$. Chú ý là $f(x+m)=f(y+m)$ do $(1)$ 
Suy ra $f(f(a)f(b))=-1$ suy ra $f(a)f(b)=0$. Giả sử $f(a)=0 \Rightarrow a=1$ suy ra $x=y \Rightarrow f$ đơn ánh. 
$P(x,1-x) \Rightarrow f(x)f(1-x)=x-x^2$ 
$P(x,-x) \Rightarrow f(x)(f(1-x)-1)=1-x^2 \Rightarrow f(x)=x-1$ 
Tương tự $f(0)=1 \Rightarrow f(x)=1-x$ 
Vậy $f(x)=x-1,1-x,0$



#20 lamNMP01

lamNMP01

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ams. Nơi của những câu chuyện cổ tích
  • Sở thích:Number theory :>. Chỉ đơn giản là thích làm toán..

Đã gửi 20-07-2017 - 23:09

Bài 6 có 1 cách rất hay , chính là cách của Evan trong Aops , nếu ai đó đã có  học bài Hungarian MO 99 bổ trợ thì ý tưởng hoàn toàn là tự nhiên , đơn thuần là dùng nội suy Lagrange kiểm soát đa thức hữu tỷ rồi chỉnh các $ci$ thoả mãn 







2 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh