Chủ đề này có 3 trả lời

[OldMemories]

1.Cmr trong dãy $2^{n}-1$,n=1,2,... luôn tìm đc n số hạng liên tiếp nhau sao cho tất cả đều là hợp số

2.Cmr có vô số số nguyên tố có dạng $2pn\dotplus 1$ với p là số nguyên tố lẻ cho trước

3.Cmr nếu p là ước nguyên tố lẻ của $a^{p}\dotplus 1$ thì p là ước của $a \dotplus 1$ hoặc có dạng $2pn\dotplus 1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi OldMemories: 19-07-2017 - 10:27

[duylax2412]

Bài 1:Cho dãy số $2^k-1 (k=\overline{1,+\infty})$ luôn tìm được $n$ số hạng liên tiếp đều là các hợp số.

Lời giải:

Trước ta có nhận xét rằng nếu $m$ là hợp số thì $2^m-1$ cũng là hợp số.Thật vậy do $m$ là hợp số nên $\exists a,b$ ($a,b>1$) sao cho $m=a.b$

Khi đó $2^m-1 \vdots 2^a-1$ nên là hợp số.Nhận xét chứng minh xong!

Quay lại bài toán.

Ta nhận thấy dãy số gồm $n$ số hạng sau đều là hợp số:$(n+1)!+2;(n+1)!+3;...;(n+1)!+n+1$ vì $(n+1)!+k \vdots k (\forall k=\overline{2,n+1})$

Do đó theo nhận xét trên ta xây dựng được dãy gồm $n$ số hạng liên tiếp sau là hợp số:

$2^{(n+1)!+2}-1;2^{(n+1)!+3}-1;...;2^{(n+1)!+(n+1)}-1$

Suy ra đpcm

 

 

[1ChampRivenn]

 

2.Cmr có vô số số nguyên tố có dạng $2pn\dotplus 1$ với p là số nguyên tố lẻ cho trước

 

Áp dụng bài 3 ở đây $https://diendantoanh...ài-tập-số-học/$

Vì có vô số số nguyên tố nên sẽ có vô số số nguyên có dạng $2^p-1$ trong đó $p$ nguyên tố.

Với 2 số ngto $p,q$ phân biệt thì ta có $(2^p-1,2^q-1)=2^{(p,q)}-1=2^1-1=1$ do đó các số dạng $2^p-1$ sẽ ko có chung ước nguyên tố.

Mà các ước nguyên tố của $2^p-1$ đều có dạng $2pk+1$ suy ra sẽ cố vô số nto dạng $2pn+1$

[1ChampRivenn]

1.Cmr trong dãy $2^{n}-1$,n=1,2,... luôn tìm đc n số hạng liên tiếp nhau sao cho tất cả đều là hợp số

2.Cmr có vô số số nguyên tố có dạng $2pn\dotplus 1$ với p là số nguyên tố lẻ cho trước

3.Cmr nếu p là ước nguyên tố lẻ của $a^{p}\dotplus 1$ thì p là ước của $a \dotplus 1$ hoặc có dạng $2pn\dotplus 1$

bài 3 có vẻ như là mở rộng của bài 4 ở đây https://diendantoanh...i-tập-số-học/$