Chủ đề này có 9 trả lời

[slenderman123]

1,Tìm Min: $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c) (DK:a,b,c\geq 0)$

2, Cho $a+b+c=3$ CMR: $5(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq \frac{12}{abc}+3$

P/S: Anh em Like ủng hộ nhé, đáp án sẽ công bố sau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 23-07-2017 - 07:35

[Baoriven]

Bài $Hello IMO 2007$ của thầy Trần Nam Dũng.

Sử dụng $_{AM-GM}$, ta có: $a+b+c\leq \frac{1}{6}(9+(a+b+c)^2)$.

Do đó, ta phải chứng minh:

$12(a^2+b^2+c^2)+6abc+48\geq 5((a+b+c)^2+9)$.

$\Leftrightarrow 7(a^2+b^2+c^2)+6abc+3\geq 10(ab+bc+ca)$.

Ta có lần lượt $2$ BĐT quen thuộc:

$\left\{\begin{matrix}4(a^2+b^2+c^2)\geq 4(ab+bc+ca) \\ 3(a^2+b^2+c^2+2abc+1)\geq 6(ab+bc+ca) \end{matrix}\right.$

Từ đó, ta có đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c=1$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Baoriven: 19-07-2017 - 14:32

[slenderman123]

Anh Bảo chất quá! đúng là Pro có khác

Em có cách khác cho bài 1 nè: BĐT tương đương với: $4(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2abc+16\geq 10(a+b+c)$

Ta có BĐT phụ quen thuộc: $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

Từ đây ta chỉ cần CM BĐT sau: $3(a^{2}+b^{2}+c^{2})+2(ab+bc+ca)+15\geq 10(a+b+c)\Leftrightarrow \frac{5}{3}(a+b+c)^{2}-10(a+b+c)+15\geq 0\Leftrightarrow (a+b+c)^{2}-6(a+b+c)+9\geq 0\Leftrightarrow (a+b+c-3)^{2}\geq 0$

(đúng với mọi $a,b,c$)

P/S:Like phát AE

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 21-07-2017 - 07:23

[Nguyenhuyen_AG]

1,Tìm Min: $P = 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8 - 5(a+b+c) \geqslant 0 (DK:a,b,c\geq 0)$

 

Giả sử $c(a-1)(b-1) \geqslant 0,$ khi đó

\[P = c(a-1)(b-1) + \frac{(4a+c-5)^2 + (4b+c-5)^2 + 14(c-1)^2}{8} \geqslant 0.\]

[AnhTran2911]

Bài 2: Đặt $p,q,r$ ta ó $p=3$ cần CM : $3r+12\geq{5q}$

Theo $ Schur$ bậc 3 ta có: $3r\geq{4q-9}$ như vậy cần CM: $4q-9+12\geq{5q}$ hay $q\leq{3}$. Đúng vì $q\leq{\frac{p^2}{3}}=3$

[AnhTran2911]

Bài 2: Đặt $p,q,r$ ta ó $p=3$ cần CM : $3r+12\geq{5q}$

Theo $ Schur$ bậc 3 ta có: $3r\geq{4q-9}$ như vậy cần CM: $4q-9+12\geq{5q}$ hay $q\leq{3}$. Đúng vì $q\leq{\frac{p^2}{3}}=3$

[slenderman123]

Thực ra 2 bài đều dùng $Schur$ cả, nhưng mình đã sáng tạo ra cách khác :

Cách khác cho bài 2: BĐT cần CM tương đương: $12+3abc\geq 5(ab+bc+ca)$

Không mất tính tổng quát, ta thấy luôn tồn tại $a,b,c$ thỏa mãn sao cho: $c(a-1)(b-1)\geq 0$ $\Leftrightarrow abc+c\geq ac+bc$

Suy ra BĐT cần chứng minh trở thành: $12-3c\geq 5ab+2c(a+b)\Leftrightarrow 12-3c\geq 5ab+2c(3-c)$

Vì $5ab\leq \frac{5}{4}(a+b)^{2}=\frac{5}{4}(3-c)^{2}$ nên giờ chỉ cần CM BĐT sau: $12-3c\geq \frac{5}{4}(3-c)^{2}+2c(3-c)\Leftrightarrow 12-3c\geq \frac{45}{4}-\frac{3}{2}c-\frac{3}{4}c^{2}\Leftrightarrow \frac{3}{4}-\frac{3}{2}c+\frac{3}{4}c^{2}\Leftrightarrow \frac{3}{4}(1-c)^{2}\geq 0$(đúng)

P/S: Like phát nữa nào :v 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 20-07-2017 - 08:21

[minhducndc]

Giả sử $c(a-1)(b-1) \geqslant 0,$ khi đó

\[P = c(a-1)(b-1) + \frac{(4a+c-5)^2 + (4b+c-5)^2 + 14(c-1)^2}{8} \geqslant 0.\]

em vẫn chưa hiểu anh giả sử c(a-1)(b-1)>=0 là sao??

[Baoriven]

Theo Dirichlet tồn tại $2$ số cùng lớn hoặc cùng bé hơn $1$. Giả sử đó là $a,b$.

[KietLW9]

1,Tìm Min: $2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8\geq 5(a+b+c) (DK:a,b,c\geq 0)$

Về một bài toán trong Hello IMO 2007 - Tài liệu, chuyên đề, phương pháp về Bất đẳng thức - Diễn đàn Toán học