Chủ đề này có 5 trả lời

[nguyenthaison]

$(5+2\sqrt{3})^{x}=(2+\sqrt{3})^{y}$

 

Có chút gợi ý từ người khác $(2+\sqrt{3})^{n}=a_{n}+b_{n}\sqrt{3}$

PS: Thánh nào 9T0 làm được thì cmt giúp cái nhé )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenthaison: 20-07-2017 - 22:14

[Hai2003]

Ta có $(2+\sqrt{3})^y=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (2-\sqrt{3})^y=a-b\sqrt{3}$. Mà $(2+\sqrt{3})^y(2-\sqrt{3})^y=1 \Rightarrow (a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=1$

 

Mặt khác $$(5+2\sqrt{3})^{x}=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (5-2\sqrt{3})^{x} = a-b\sqrt{3} \\ \Rightarrow (5+2\sqrt{3})^{x} (5-2\sqrt{3})^{x}=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) \\ \Rightarrow 13^x=1 \Rightarrow x=y=0$$

[1ChampRivenn]

.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1ChampRivenn: 21-07-2017 - 16:44

[1ChampRivenn]

Ta có $(2+\sqrt{3})^y=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (2-\sqrt{3})^y=a-b\sqrt{3}$. Mà $(2+\sqrt{3})^y(2-\sqrt{3})^y=1 \Rightarrow (a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3})=1$

 

Mặt khác $$(5+2\sqrt{3})^{x}=a+b\sqrt{3} \Rightarrow (5-2\sqrt{3})^{x} = a-b\sqrt{3} \\ \Rightarrow (5+2\sqrt{3})^{x} (5-2\sqrt{3})^{x}=(a+b\sqrt{3})(a-b\sqrt{3}) \\ \Rightarrow 13^x=1 \Rightarrow x=y=0$$

Sao lại suy ra được điều này thế bạn

[Hai2003]

Sao lại suy ra được điều này thế bạn

Bạn có thể chứng minh bằng quy nạp:

Với $x=1$ thì điều trên đúng. 

 

Giả sử đúng với $x=n$, tức là $\left\{\begin{matrix} (5+\sqrt{3})^n=a_n+b_n\sqrt{3}\\ (5-\sqrt{3})^n=a_n-b_n\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

$\Rightarrow \left\{\begin{matrix} (5+\sqrt{3})^{n+1}=(a_n+b_n\sqrt{3})(5+\sqrt{3})\\ (5-\sqrt{3})^{n+1}=(a_n-b_n\sqrt{3})(5-\sqrt{3}) \end{matrix}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} (5+\sqrt{3})^{n+1}=(5a_n+6b_n)+(2a_n+5b_n)\sqrt{3}\\ (5-\sqrt{3})^{n+1}=(5a_n+6b_n)-(2a_n+5b_n)\sqrt{3} \end{matrix}\right.$

 

Suy ra điều phải chứng minh

[nguyenthaison]

Sao lại suy ra được điều này thế bạn

như # trên