Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 4 tháng 7/2017: $KA$ và $LB$ cắt nhau trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$.

hình học

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 Zaraki

Zaraki

    PQT

  • Phó Quản trị
  • 4249 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đảo mộng mơ.
  • Sở thích:Geometry, Number Theory, Combinatorics, Manga

Đã gửi 24-07-2017 - 04:39

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

 

Bài 1. Đường tròn $(I)$ và $(J)$ ở ngoài nhau có hai dây cung bằng nhau là $RM$ và $NT$ sao cho $R,M,N,T$ thẳng hàng. Tiếp tuyến $R$ của $(I)$ cắt $(J)$ tại $A,B$. Tiếp tuyến qua $T$ của $(J)$ cắt $(I)$ tại $K,L$ như hình vẽ. Chứng minh rằng $KA$ và $LB$ cắt nhau trên trục đẳng phương của $(I)$ và $(J)$.

 

Screen Shot 2017-07-24 at 7.34.44 AM.png

 

Bài 2. Cho tam giác $ABC$, $(O)$ là đường tròn ngoại tiếp, $Y,Z$ theo thứ tự là trung điểm của $CA,AB$. $P$ là điểm bất kì không thuộc $(O)$. $T$ là giao điểm thứ hai của $AP$ và $(O)$. $E,F$ theo thứ tự là giao điểm thứ hai của các đường tròn $(APY),(APZ)$ và $(O)$. $S$ là giao điểm thứ hai của các đường tròn $(OBE), (OCF)$. Chứng minh rằng $O,A,T,S$ cùng thuộc một đường tròn.

 

Screen Shot 2017-07-24 at 7.38.47 AM.png


“A man's dream will never end!” - Marshall D. Teach.

#2 NHN

NHN

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 63 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:miền nam
  • Sở thích:tìm link

Đã gửi 24-07-2017 - 08:49

bài 2: giao của $YZ$ và $(APZ)$ là $K$ thì $\angle{AFK}=180-\angle{AZY}=180-\angle{ABC}=\angle{AFC}$ vậy $C,K,F$ thẳng

giao của $YZ$ và $(APY)$ là $L$ thì tương tự $B,L,E$ thẳng 

giao của $BE$ và $CF$ là $G$ thì $\angle{GEF}=\angle{GCB}=\angle{GKL}$ vậy $GF.GK=GE.GL$ vậy $G,A,P$ thẳng

vậy $A,S,O,T$ thuộc 1 đường tròn



#3 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 24-07-2017 - 18:22

tổng quát bài 2 : có thể thay điểm $O$ thành điểm $R$ bất kì. Lời giải của em ạ 

Xét phép nghịch đảo tâm $A$ biến $B,C$ thành $B',C"$, biến $Y,Z$ thành $X',Y'$ đối xứng $A$ qua $C,B$, biến $P$ thành một điểm $P"$ bất kì không nằm trên $B'C'$, biến $T$ thành giao điểm của $AP'$ với $B'C'$ , $E,F$ biến thành $E',F'$ là giao điểm của $P'Y',P'Z'$ với $B'C'$, $R$ biến thành $R'$ là điểm bất kì . $S$ biến thành $S'$ là giao của $(R'B'E')$ và $(R'C'F')$, ta cần chứng minh $R',S',T'$ thẳng hàng

Ta chứng minh bài toán mới, để thuận tiện ta lược bớt kí hiệu $'$ 

Gọi $V$ là giao điểm của $YZ$ với $AT$ . Ta có $\frac{TE}{TF} = \frac{VY}{VZ} = \frac{TC}{TB}$ nên $TE.TB = TF.TC$, suy ra $T$ nằm trên trục đẳng phương của $(BRE)$ và $(CRF)$ nên $T \in RS$. Ta có điều cần chứng minh

Untitled.png

 



#4 manhtuan00

manhtuan00

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 105 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Khoa học Tự nhiên

Đã gửi 24-07-2017 - 18:36

Lời giải bài 1 của em ạ : Gọi $X$ là giao điểm của $RK$ với đường thẳng qua $T$ song song $RA$. Khi đó $\angle RKM = \angle ART = \angle XTM$ nên tứ giác $KXTM$ nội tiếp $\implies \angle RXM = \angle XTM = \angle NAT$. Dựng hình bình hành $RX'TA$ thì $X' \in TX , \angle RX'M = \angle NAT$ nên $X' \equiv X$. Vậy ta có $RK \parallel AT \implies \angle LRA = 180 - \angle LKR = 180 - \angle LTA$ nên tứ giác $LTAR$ nội tiếp 

Suy ra giao điểm của $LR,AT$ nằm trên trục đẳng phương của $(I),(J)$. Tương tự giao điểm của $KR,BT$ nằm trên trục đẳng phương

Áp dụng định lý Pappus cho bộ 6 điểm $(LTKARB)$ ta có giao điểm của $KA,LB$ nằm trên trục đẳng phương của $(I),(J)$

bổ đề.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi manhtuan00: 24-07-2017 - 18:46


#5 cleverboy

cleverboy

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 25 Bài viết

Đã gửi 26-07-2017 - 03:06

Một lời giải khác cho bài 1 mở rông IMO 2017.

LG.png

Hinh.png


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi cleverboy: 26-07-2017 - 03:23






0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh