Chủ đề này có 6 trả lời

[ghostlove]

Cho tam giác ABC thỏa mãn $sin(A)+sin(B)+sin(C)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Tìm các góc trong tam giác

[Hai2003]

Ta sẽ chứng minh BĐT sau $sin A+sin B+ sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

$\Leftrightarrow (sin A +sin B + sin C)^2 \leq \frac{27}{4}$

Mặt khác $(sin A +sin B + sin C)^2 \leq 3(sin^2 A +sin^2 B+ sin^2 C)$ nên ta chỉ cần chứng minh $sin^2 A +sin^2 B+ sin^2 C \leq \frac{9}{4}$ 

$\Leftrightarrow cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C \geq \frac{3}{2}$

 

Áp dụng định lý côsin thì $cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. Tương tự cho $cos B, \ cos C$ rồi thế vào BĐT trên ta được:

 

$\left ( \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} \right )^2+\left ( \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca} \right )^2 + \left ( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right )^2 \geq \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {a^2}\left(b^2 + c^2 - a^2\right)^2 + b^2\left({c^2} + {a^2} - {b^2}\right)^2 + {c^2}{\left({a^2} + {b^2} - {c^2}\right)^2} \geq 3{a^2}{b^2}{c^2}\\ \Leftrightarrow a^2b^2c^2\geq \left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)$

 

BĐT cuối là một BĐT quen thuộc. Như vậy chứng minh hoàn tất, $sin A+sin B+ sin C \leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$. Mà $sin A + sin B+sinC = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy tam giác ABC đều $\Rightarrow \widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^{\circ}$

 

Spoiler

Có nhiều cách khác để chứng minh BĐT này nhanh và gọn hơn, nhưng do mình chỉ mới học lượng giác nên không biết làm.

[Element hero Neos]

Cho tam giác ABC thỏa mãn $sin(A)+sin(B)+sin(C)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Tìm các góc trong tam giác

 

Spoiler

Có nhiều cách khác để chứng minh BĐT này nhanh và gọn hơn, nhưng do mình chỉ mới học lượng giác nên không biết làm.

Cách khác đây

Đặt $A=sinA+sinB+sinC$

Suy ra $A+sin\frac{\pi}{3}$

           $=sinA+sinB+sinC+sin\frac{\pi}{3}$

           $=(sinA+sinB)+(sinC+sin\frac{\pi}{3})$

           $=2.sin\frac{A+B}{2}.cos\frac{A-B}{2}+2.sin\frac{C+\frac{\pi}{3}}{2}.cos\frac{C-\frac{\pi}{3}}{2}$

           $\leq2.sin\frac{A+B}{2}.1+2.sin\frac{C+\frac{\pi}{3}}{2}.1$

           $=2(sin\frac{A+B}{2}+sin\frac{C+\frac{\pi}{3}}{2})$

           $=4.sin\frac{A+B+C+\frac{\pi}{3}}{4}.cos\frac{A+B-C-\frac{\pi}{3}}{4}$

           $\leq4.sin\frac{\pi+\frac{\pi}{3}}{4}$

           $=\frac{4\sqrt{3}}{2}$

Do đó $A\leq\frac{4\sqrt{3}}{2}-sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$

Vậy ...

P/s: Dùng $sinX+sinY=2sin\frac{X+Y}{2}.cos\frac{X-Y}{2}$ và $cosX\leq 1,\forall x\in[0;\pi]$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 25-07-2017 - 13:51

[NTL2k1]

Cho tam giác ABC thỏa mãn $sin(A)+sin(B)+sin(C)=\frac{3\sqrt{3}}{2}$
Tìm các góc trong tam giác

Bài này đi học thêm thầy mình có ra và đã sửa, mình xin viết cách của thầy:

Giải

Ta có:

$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\leq 2sin\frac{A+B}{2}$ (1)

$sinC+sin\frac{\pi }{3}=2sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6})cos(\frac{C}{2}-\frac{\pi }{6})\leq 2sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6})$ (2)

(1)+(2) ta được:

$sinA+sinB+sinC+\frac{\sqrt{3}}{2}\leq 2(sin\frac{A+B}{2}+sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} ))\leq 4sin(\frac{A+B+C}{4}+\frac{\pi }{12})=4sin\frac{\pi }{3}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

[Element hero Neos]

Bài này đi học thêm thầy mình có ra và đã sửa, mình xin viết cách của thầy:

Giải

Ta có:

$sinA+sinB=2sin\frac{A+B}{2}cos\frac{A-B}{2}\leq 2sin\frac{A+B}{2}$ (1)

$sinC+sin\frac{\pi }{3}=2sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6})cos(\frac{C}{2}-\frac{\pi }{6})\leq 2sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6})$ (2)

(1)+(2) ta được:

$sinA+sinB+sinC+\frac{\sqrt{3}}{2}\leq 2(sin\frac{A+B}{2}+sin(\frac{C}{2}+\frac{\pi }{6} ))\leq 4sin(\frac{A+B+C}{4}+\frac{\pi }{12})=4sin\frac{\pi }{3}=\frac{4\sqrt{3}}{2}$

$\Rightarrow sinA+sinB+sinC\leq \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow A=B=C=\frac{\pi }{3}$

Chẳng phải nó giống hệt cách tôi sao :v

[NTL2k1]

Chẳng phải nó giống hệt cách tôi sao :v

Thực ra là t đăng bài xong thì mới hiện ra bài của ông, chứ t có biết đâu :v

[ghostlove]

Tìm min $A=sin(7A)+sin(7B)+sin(7C)$