Chủ đề này có 2 trả lời

[Tea Coffee]

Câu 1: Cmr:$(x+y)^{2}-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

Câu 2: Cho $x,y,z\geq 0;x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0$ t/m: $\frac{16}{x+24}+\frac{25}{y+16}+\frac{9}{z+4}\leq 1.$ Tìm GTNN:$P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$

[khgisongsong]

câu 1 như thế này

có $(x+y)^2\geq 4xy => -xy \geq -\frac{(x+y)^2}{4}$

=> bdt ban đầu <=> $\frac{3(x+y)^2}{4} - \sqrt{3}(x+y)+1\geq 0$

<=> $(\frac{\sqrt{3}}{2}(x+y)-1)^2\geq 0$ ( luôn đúng với mọi x,y thuộc R)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi khgisongsong: 24-07-2017 - 13:03

[MoMo123]

Câu 1: Cmr:$(x+y)^{2}-xy+1\geq (x+y)\sqrt{3}$ với mọi $x,y\epsilon \mathbb{R}$

Câu 2: Cho $x,y,z\geq 0;x^{2}+y^{2}+z^{2}\neq 0$ t/m: $\frac{16}{x+24}+\frac{25}{y+16}+\frac{9}{z+4}\leq 1.$ Tìm GTNN:$P=x+y+z+\frac{1}{x+y+z}$

Mình có cách này không biết có đúng không

Áp dụng bđt phụ $xy\leq \frac{(x+y)^{2}}{4}$

 

$\rightarrow (x+y)^{2}-xy+1\geq (x+y)^{2}-\frac{(x+y)^{2}}{4}+1= \frac{3(x+y)^{2}}{4}+1\geq 2\sqrt{\frac{3(x+y)^{2}}{4}}=|x+y|\sqrt{3}$

Xét $x+y< 0\rightarrow VT>0;VP<0$ -> Bất đẳng thức được CM

Xét $x+y\geq 0$ -> đpcm

2)

Áp dụng bất đẳng thức Caushy Swarch , ta có $1\geq \frac{16}{x+24}+\frac{25}{y+16}+\frac{9}{z+4}\geq \frac{(4+5+3)^{2}}{x+y+z+44}=\frac{144}{x+y+z+44}$

$\rightarrow x+y+z\geq 100$

 

$P=\frac{x+y+z}{10000}+\frac{1}{x+y+z}+\frac{999(x+y+z)}{10000}\geq ...$