Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn $p^{2}-pq-q^{3}=1$
Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn $p^{2}-pq-q^{3}=1$
#1
Đã gửi 25-07-2017 - 13:45
#2
Đã gửi 25-07-2017 - 16:19
Ta có: $p^{2}-pq-q^{3}=1=>\Delta =q^{2}+4q^{3}$
$=> \Delta =q^{2}(4q+1)$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ là số chính phương
$=> 4q+1$ là số chính phương
Đặt $4q+1=a^{2}(a\epsilon Z)=> a=2k+1(k\epsilon Z)=>4q+1=4k^{2}+4k+1=>q=k(k+1)\vdots 2=>q=2=>p^{2}-2p-8=1...$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-07-2017 - 16:23
- NHoang1608, chaobu909, duylax2412 và 4 người khác yêu thích
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#3
Đã gửi 27-07-2017 - 14:14
Ta có: $p^{2}-pq-q^{3}=1=>\Delta =q^{2}+4q^{3}$
$=> \Delta =q^{2}(4q+1)$
Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ là số chính phương
$=> 4q+1$ là số chính phương
Đặt $4q+1=a^{2}(a\epsilon Z)=> a=2k+1(k\epsilon Z)=>4q+1=4k^{2}+4k+1=>q=k(k+1)\vdots 2=>q=2=>p^{2}-2p-8=1...$
denta sai rồi bạn ak
#4
Đã gửi 03-08-2017 - 23:09
denta sai rồi bạn ak
Sai ở đâu hả bạn?
Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.
#5
Đã gửi 05-08-2017 - 11:58
Sai ở đâu hả bạn?
$p^2 - pq - q^3 = 1\rightarrow p^2 - pq - q^3 -1 = 0\rightarrow \Delta = p^2+4(q^3 + 1)$ chứ ạ
- Tea Coffee yêu thích
#6
Đã gửi 06-08-2017 - 09:26
Không nương tay bài này
Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$ thì với mọi $a,b \in Z$. $a^3\equiv b^3(mod p) \Rightarrow a\equiv b (mod p)$ (nhớ là nó chỉ luôn đúng với số nguyên tố dạng $3k+2$ )
Thật vậy với $a \vdots p$ thì dễ có $b \vdots p$ nên có ngay kết quả.Xét trường hợp $(b,p)=1 \Rightarrow (a,p)=1$
Theo định lí Fermat nhỏ ta suy ra: $a^{3k+1} \equiv b^{3k+1} (mod p)$ (cùng đồng dư $1$ modulo $p$)
Mà theo giả thiết $a^3 \equiv b^3 (mod p) \Rightarrow a^{3k} \equiv b^{3k} (mod p) \Rightarrow a^{3k+1} \equiv ab^{3k}$
Từ đây suy ra $a \equiv b (mod p)$ vì $(b,p)=1$
Quay lại bài toán khó chịu này.
Xét $q=2,3$ thì ta tìm được cặp nguyên tố $(p;q)=(7;3)$
Xét $q>3$.Ta chứng minh không tồn tại $p,q$ thỏa mãn.
Thật vậy,dễ thấy $p>q$ nên $p>3 \Rightarrow p^2-1 \vdots 3$
Do đó từ phương trình ta có:$q(p+q^2)=p^2-1 \vdots 3 $.Do $q>3$ và nguyên tố nên $(q,3)=1$ và $q^2 \equiv 1(mod 3)$.Suy ra $p \equiv 2 (mod 3)$.Vậy $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$
Lại biến đổi phương trình ta có: $q^3+1=p(p-q) \vdots p$.Theo bổ đề trên ta có: $q+1 \vdots p \Rightarrow q+1 \geq p$
Mà $p>q \Rightarrow p \geq q+1$.Hai điều trên dẫn đến $p=q+1$.Thay vào phương trình không tìm được nghiệm nguyên.
Vậy phương trình có nghiệm nguyên tố duy nhất $(p;q)=(7;3)$
- Tea Coffee, AGFDFM, M4st3r of P4nstu và 7 người khác yêu thích
Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.
Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.
#7
Đã gửi 13-08-2017 - 09:06
Cần gì phải làm thế
$p^{2}-pq-q^{3}=1\Leftrightarrow q^{3}+1=p(p-q)\Leftrightarrow (q+1)(q^{2}-q+1)=p(p-q)$
Vì $VT>0$ nên $VP>0$ suy ra $p>q$ $($*$)$
Ta có: $(p,p-q)=1$ nên xét các trường hợp sau:
- TH1: $q+1\vdots p\Rightarrow q+1 \geq p \Rightarrow q>p$ (loại vì vô lý với $($*$)$)
-TH2: $q+1\vdots p-q\Rightarrow q+1=k(p-q)$ ($k \in Z+)$
Suy ra $p \vdots k$, dễ dàng suy ra $k=1$ ,thay vào tìm ra $(p,q)=(7,3)$
-TH3: $q+1$ không chia hết cho $p$ hoặc $p-q$ suy ra $p-q\vdots q+1$
Khi đó chọn số $t \geq 2$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} p-q=t(q+1)\\q^{2}-q+1=tp \end{matrix}\right.$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} p=(t+1)q+1\\ q^{2}-q+1=t(t+1)q+t (2)\end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ suy ra $q^{2}-(t^{2}+t+1)q+(1-t)=0$
$\Delta =(t^{2}+t+1)^{2}-4(1-t)\geq 0\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3\geq 0$
Vì nghiệm $p$ là số nguyên tố nên $ t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3$ là số chính phương.
Đến giờ sử dụng phương pháp "chặn-bắt" ta có: $t^{4}+2t^{3}+t^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< t^{4}+2t^{3}+5t^{2}+4t+4\Leftrightarrow (t^{2}+t)^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< (t^{2}+t+2)^{2}\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3=(t^{2}+t+1)^{2}\Leftrightarrow t=1$ (vô lý)
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 14-08-2017 - 14:46
- hoicmvsao, NHoang1608, Hoang Dinh Nhat và 2 người khác yêu thích
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
#8
Đã gửi 14-08-2017 - 14:42
Cách giải hay thật đó bạn
ừ, giải thế này tổng quát hơn, nó không cầu kì như bạn ở trên, mà nếu hay thì ủng hộ mình đi
- quangantoan và Tea Coffee thích
Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị
#9
Đã gửi 01-09-2017 - 22:50
Cần gì phải làm thế
$p^{2}-pq-q^{3}=1\Leftrightarrow q^{3}+1=p(p-q)\Leftrightarrow (q+1)(q^{2}-q+1)=p(p-q)$
Vì $VT>0$ nên $VP>0$ suy ra $p>q$ $($*$)$
Ta có: $(p,p-q)=1$ nên xét các trường hợp sau:
- TH1: $q+1\vdots p\Rightarrow q+1 \geq p \Rightarrow q>p$ (loại vì vô lý với $($*$)$)
-TH2: $q+1\vdots p-q\Rightarrow q+1=k(p-q)$ ($k \in Z+)$
Suy ra $p \vdots k$, dễ dàng suy ra $k=1$ ,thay vào tìm ra $(p,q)=(7,3)$
-TH3: $q+1$ không chia hết cho $p$ hoặc $p-q$ suy ra $p-q\vdots q+1$
Khi đó chọn số $t \geq 2$ thỏa mãn: $\left\{\begin{matrix} p-q=t(q+1)\\q^{2}-q+1=tp \end{matrix}\right.$
Suy ra $\left\{\begin{matrix} p=(t+1)q+1\\ q^{2}-q+1=t(t+1)q+t (2)\end{matrix}\right.$
Từ $(2)$ suy ra $q^{2}-(t^{2}+t+1)q+(1-t)=0$
$\Delta =(t^{2}+t+1)^{2}-4(1-t)\geq 0\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3\geq 0$
Vì nghiệm $p$ là số nguyên tố nên $ t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3$ là số chính phương.
Đến giờ sử dụng phương pháp "chặn-bắt" ta có: $t^{4}+2t^{3}+t^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< t^{4}+2t^{3}+5t^{2}+4t+4\Leftrightarrow (t^{2}+t)^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< (t^{2}+t+2)^{2}\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3=(t^{2}+t+1)^{2}\Leftrightarrow t=1$ (vô lý)
Xin lỗi nhưng dòng thứ 11 thì p = (t+1)q + t chứ bạn ?
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, phương trình nghiệm nguyên
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh