Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh

Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn $p^{2}-pq-q^{3}=1$

số học số nguyên tố phương trình nghiệm nguyên

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 8 trả lời

#1 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 25-07-2017 - 13:45

Tìm các số nguyên tố p;q thỏa mãn $p^{2}-pq-q^{3}=1$



#2 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 761 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 25-07-2017 - 16:19

Ta có: $p^{2}-pq-q^{3}=1=>\Delta =q^{2}+4q^{3}$

$=> \Delta =q^{2}(4q+1)$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ là số chính phương

$=> 4q+1$ là số chính phương

Đặt $4q+1=a^{2}(a\epsilon Z)=> a=2k+1(k\epsilon Z)=>4q+1=4k^{2}+4k+1=>q=k(k+1)\vdots 2=>q=2=>p^{2}-2p-8=1...$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tea Coffee: 25-07-2017 - 16:23

Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#3 nguyenthaison

nguyenthaison

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 75 Bài viết

Đã gửi 27-07-2017 - 14:14

Ta có: $p^{2}-pq-q^{3}=1=>\Delta =q^{2}+4q^{3}$

$=> \Delta =q^{2}(4q+1)$

Để phương trình có nghiệm thì $\Delta$ là số chính phương

$=> 4q+1$ là số chính phương

Đặt $4q+1=a^{2}(a\epsilon Z)=> a=2k+1(k\epsilon Z)=>4q+1=4k^{2}+4k+1=>q=k(k+1)\vdots 2=>q=2=>p^{2}-2p-8=1...$

denta sai rồi bạn ak



#4 Tea Coffee

Tea Coffee

    Trung úy

  • Điều hành viên THPT
  • 761 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:A1K47 THPT chuyên Phan Bội Châu
  • Sở thích:$\boxed{Maths}$

Đã gửi 03-08-2017 - 23:09

denta sai rồi bạn ak

Sai ở đâu hả bạn?


Treasure every moment that you have!
And remember that Time waits for no one.
Yesterday is history. Tomorrow is a mystery.
Today is a gift. That’s why it’s called the present.


#5 Phillippa08

Phillippa08

    Binh nhì

  • Thành viên mới
  • 15 Bài viết
  • Giới tính:Nữ

Đã gửi 05-08-2017 - 11:58

Sai ở đâu hả bạn?

$p^2 - pq - q^3 = 1\rightarrow p^2 - pq - q^3 -1 = 0\rightarrow \Delta = p^2+4(q^3 + 1)$ chứ ạ



#6 duylax2412

duylax2412

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 191 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái dương hệ
  • Sở thích:số học & piano

Đã gửi 06-08-2017 - 09:26

Không nương tay bài này

Ta chứng minh bổ đề sau: Nếu $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$ thì với mọi $a,b \in Z$. $a^3\equiv b^3(mod p) \Rightarrow a\equiv b (mod p)$ (nhớ là nó chỉ luôn đúng với số nguyên tố dạng $3k+2$ )

Thật vậy với $a \vdots p$ thì dễ có $b \vdots p$ nên có ngay kết quả.Xét trường hợp $(b,p)=1 \Rightarrow (a,p)=1$

Theo định lí Fermat nhỏ ta suy ra: $a^{3k+1} \equiv b^{3k+1} (mod p)$ (cùng đồng dư $1$ modulo $p$)

Mà theo giả thiết $a^3 \equiv b^3 (mod p) \Rightarrow a^{3k} \equiv b^{3k} (mod p) \Rightarrow a^{3k+1} \equiv ab^{3k}$

Từ đây suy ra $a \equiv b (mod p)$ vì $(b,p)=1$

Quay lại bài toán khó chịu này.

Xét $q=2,3$ thì ta tìm được cặp nguyên tố $(p;q)=(7;3)$

Xét $q>3$.Ta chứng minh không tồn tại $p,q$ thỏa mãn.

Thật vậy,dễ thấy $p>q$ nên $p>3 \Rightarrow p^2-1 \vdots 3$

Do đó từ phương trình ta có:$q(p+q^2)=p^2-1 \vdots 3 $.Do $q>3$ và nguyên tố nên $(q,3)=1$ và $q^2 \equiv 1(mod 3)$.Suy ra $p \equiv 2 (mod 3)$.Vậy $p$ là số nguyên tố dạng $3k+2$

Lại biến đổi phương trình ta có: $q^3+1=p(p-q) \vdots p$.Theo bổ đề trên ta có: $q+1 \vdots p \Rightarrow q+1 \geq p$

Mà $p>q \Rightarrow p \geq q+1$.Hai điều trên dẫn đến $p=q+1$.Thay vào phương trình không tìm được nghiệm nguyên.

Vậy phương trình có nghiệm nguyên tố duy nhất $(p;q)=(7;3)$

 

 


Chỉ có hai điều là vô hạn: vũ trụ và sự ngu xuẩn của con người, và tôi không chắc lắm về điều đầu tiên.

Only two things are infinite, the universe and human stupidity, and I'm not sure about the former.

ALBERT EINSTEIN

 

 


#7 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 13-08-2017 - 09:06

Cần gì phải làm thế  :closedeyes:

$p^{2}-pq-q^{3}=1\Leftrightarrow q^{3}+1=p(p-q)\Leftrightarrow (q+1)(q^{2}-q+1)=p(p-q)$

Vì $VT>0$ nên $VP>0$ suy ra $p>q$ $($*$)$

Ta có: $(p,p-q)=1$ nên xét các trường hợp sau:

- TH1: $q+1\vdots p\Rightarrow q+1 \geq p \Rightarrow q>p$ (loại vì vô lý với $($*$)$)

-TH2: $q+1\vdots p-q\Rightarrow q+1=k(p-q)$ ($k \in Z+)$

Suy ra $p \vdots k$, dễ dàng suy ra $k=1$ ,thay vào tìm ra $(p,q)=(7,3)$

-TH3: $q+1$ không chia hết cho $p$ hoặc $p-q$ suy ra $p-q\vdots q+1$

Khi đó chọn số $t \geq 2$ thỏa mãn:  $\left\{\begin{matrix} p-q=t(q+1)\\q^{2}-q+1=tp \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} p=(t+1)q+1\\ q^{2}-q+1=t(t+1)q+t (2)\end{matrix}\right.$

Từ $(2)$ suy ra $q^{2}-(t^{2}+t+1)q+(1-t)=0$

$\Delta =(t^{2}+t+1)^{2}-4(1-t)\geq 0\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3\geq 0$

Vì nghiệm $p$ là số nguyên tố nên $ t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3$ là số chính phương.

Đến giờ sử dụng phương pháp "chặn-bắt" ta có: $t^{4}+2t^{3}+t^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< t^{4}+2t^{3}+5t^{2}+4t+4\Leftrightarrow (t^{2}+t)^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< (t^{2}+t+2)^{2}\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3=(t^{2}+t+1)^{2}\Leftrightarrow t=1$ (vô lý)

                                                                                                                


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi slenderman123: 14-08-2017 - 14:46

Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#8 slenderman123

slenderman123

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 175 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Trị Provine
  • Sở thích:Giải toán dạo :)

Đã gửi 14-08-2017 - 14:42

Cách giải hay thật đó bạn

ừ, giải thế này tổng quát hơn, nó không cầu kì như bạn ở trên, mà nếu hay thì ủng hộ mình đi  :D


Nguyễn Văn Tự Cường - Trường THPT Chuyên LQĐ - Quảng Trị


#9 OldMemories

OldMemories

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 53 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thanh Hóa

Đã gửi 01-09-2017 - 22:50

Cần gì phải làm thế  :closedeyes:

$p^{2}-pq-q^{3}=1\Leftrightarrow q^{3}+1=p(p-q)\Leftrightarrow (q+1)(q^{2}-q+1)=p(p-q)$

Vì $VT>0$ nên $VP>0$ suy ra $p>q$ $($*$)$

Ta có: $(p,p-q)=1$ nên xét các trường hợp sau:

- TH1: $q+1\vdots p\Rightarrow q+1 \geq p \Rightarrow q>p$ (loại vì vô lý với $($*$)$)

-TH2: $q+1\vdots p-q\Rightarrow q+1=k(p-q)$ ($k \in Z+)$

Suy ra $p \vdots k$, dễ dàng suy ra $k=1$ ,thay vào tìm ra $(p,q)=(7,3)$

-TH3: $q+1$ không chia hết cho $p$ hoặc $p-q$ suy ra $p-q\vdots q+1$

Khi đó chọn số $t \geq 2$ thỏa mãn:  $\left\{\begin{matrix} p-q=t(q+1)\\q^{2}-q+1=tp \end{matrix}\right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} p=(t+1)q+1\\ q^{2}-q+1=t(t+1)q+t (2)\end{matrix}\right.$

Từ $(2)$ suy ra $q^{2}-(t^{2}+t+1)q+(1-t)=0$

$\Delta =(t^{2}+t+1)^{2}-4(1-t)\geq 0\Leftrightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3\geq 0$

Vì nghiệm $p$ là số nguyên tố nên $ t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3$ là số chính phương.

Đến giờ sử dụng phương pháp "chặn-bắt" ta có: $t^{4}+2t^{3}+t^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< t^{4}+2t^{3}+5t^{2}+4t+4\Leftrightarrow (t^{2}+t)^{2}< t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3< (t^{2}+t+2)^{2}\Rightarrow t^{4}+2t^{3}+3t^{2}+6t-3=(t^{2}+t+1)^{2}\Leftrightarrow t=1$ (vô lý)

Xin lỗi nhưng dòng thứ 11 thì p = (t+1)q + t chứ bạn ?







Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: số học, số nguyên tố, phương trình nghiệm nguyên

1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh