Chủ đề này có 2 trả lời

[Element hero Neos]

Giải hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix} 4+9.3^{x^2-2y}=(4+9^{x^2-2y}).7^{2y-x^2+2}\\ 4^x+4=4x+4\sqrt{2y-2x+4} \end{matrix}\right.$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 25-07-2017 - 14:27

[Hkai Bao]

     Hệ phương trình trên có hai phương trình (1) và (2)    ((1),(2) ở đây là cho tiện lời giải)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox{Lời giải}$ Xét phương trình $(1)$. Đặt $x^2-2y=a$, ta được $4+9.3^{a}=(4+9^a).7^{2-a} \Leftrightarrow 4(7^{2-a}-1)+3^{a+2}[(\frac{7}{3})^{2-a}-1]=0$. Nếu $a>2$ thì $2-a <0$ khi đó vế trái nhỏ hơn 0, loại. Nếu $a>2$ thì $2-a >0$ do $7$ và $\frac{7}{3}$ lớn hơn 1 nên vế trái lớn hơn 0, loại. Vậy $a=2$ hay $x^2-2y=2$. Thay vào $(2)$, ta được $4^x+4=4x+4\sqrt{x^2-2x+2} \Leftrightarrow 4^x-4x=4\sqrt{x^2-2x+2}-4$ lần lượt xét $f(x)=4^x-4x$ và $g(x)=4\sqrt{x^2-2x+2}-4$ trên $\mathbb{R}$. Dễ thấy $f(x+y)-f(x)>g(x+y)-g(x)$ với mọi $y \in (0;1)$ (*). Do đó có $x=1$ là nghiệm . nếu $x$ khác 1 thì dễ thấy do (*) nên loại. Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;-\frac{1}{2})$

 ----------------------------- (Không biết đủ nghiệm chưa ấy nhỉ) ----------------

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hkai Bao: 28-07-2017 - 22:18

[Element hero Neos]

     Hệ phương trình trên có hai phương trình (1) và (2)    ((1),(2) ở đây là cho tiện lời giải)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox{Lời giải}$ Xét phương trình $(1)$. Đặt $x^2-2y=a$, ta được $4+9.3^{a}=(4+9^a).7^{2-a} \Leftrightarrow 4(7^{2-a}-1)+3^{a+2}[(\frac{7}{3})^{2-a}-1]=0$. Nếu $a>2$ thì $2-a <0$ khi đó vế trái nhỏ hơn 0, loại. Nếu $a>2$ thì $2-a >0$ do $7$ và $\frac{7}{3}$ lớn hơn 1 nên vế trái lớn hơn 0, loại. Vậy $a=2$ hay $x^2-2y=2$. Thay vào $(2)$, ta được $4^x+4=4x+4\sqrt{x^2-2x+2} \Leftrightarrow 4^x-4x=4\sqrt{x^2-2x+2}-4$ lần lượt xét $f(x)=4^x-4x$ và $g(x)=4\sqrt{x^2-2x+2}-4$ trên $\mathbb{R}$. Dễ thấy $f(x+y)-f(x)>g(x+y)-g(x)$ với mọi $y \in (0;1)$ (*). Do đó có $x=1$ là nghiệm . nếu $x$ khác 1 thì dễ thấy do (*) nên loại. Vậy hệ có nghiệm $(x;y)=(1;-\frac{1}{2})$

 ----------------------------- (Không biết đủ nghiệm chưa ấy nhỉ) ----------------

Chưa hiểu tại sao $f(x+y)-f(x)>g(x+y)-g(x)$ thì có nghiệm $x=1$ nhỉ? Hơn nữa đánh giá này có thể chứng minh rõ ràng không?

Cách của mình thế này:

Để dễ trình bày, mình sẽ xét $2$ bài toán phụ.

Bài 1: Giải phương trình $4^x-4^{-x}=2x$

Xét hàm $f(t)=4^t-4^{-t}-2x$, suy ra $f'(t)=ln4(4^x-4^{-x})-2\geq 2.ln4-2>0$, suy ra f(x) đồng biến

Mà $f(0)=0$ nên $x=0$ là nghiệm duy nhất

Bài 2: Giải phương trình $x+\sqrt{x^2+1}=4^x$

Ta biến đổi $\frac{1}{4^x}=\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}}=\sqrt{x^2+1}-x$

Suy ra $4^{-x}=\sqrt{x^2+1}-x$, đến đây ta quy về pt ở bài 1, nghiệm $x=0$

Giờ ta trở lại với bài toán trên. Ta sẽ đưa bài này về bài toán thứ $2$

Xét phương trình $(1)$, đặt $x^2-2y=t$, phương trình trở thành

$4+3^{t+2}=(4+9^t).7^{2-t}$

$\Leftrightarrow 4+3^{t+2}=(4+3^{2t}).7^{t+2-2t}$

$\Leftrightarrow \frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}$

Xét $f(t)=\frac{4+3^t}{7^t}$, dễ thấy $f(t)$ nghịch biến, mà $f(t+2)=f(2t)$ nên t=2

Thay vào phương trình $(2)$ được 

$4^x+4=4x+\sqrt{x^2-2x+2}$

$\Leftrightarrow 4^{x-1}=(x-1)+\sqrt{(x-1)^2+1}$

Theo bài $2$ được $x-1=0$, suy ra $x=1$, thay lại được $y=\frac{-1}{2}$

Vậy ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 29-07-2017 - 15:06