Chứng minh rằng ma trận vuông đối xứng $A$ viết được dưới dạng $A = C^{t}C$ nào đó khi và chỉ khi mọi định thức con chính của $A$ ma trận $A$ là không âm ( ma trận con chính là ma trận giao của $k$ hàng và $k$ cột có cùng tập chỉ số ) .
Cái này rõ ràng khó hơn positive definite rất nhiều vì nó có thể bị vướng rất nhiều số $0$ . Ở positive definite thì có thể dễ dàng trực giao hóa Gram-Schmidt +=+ nhưng cho vào đây là fail liền . Với chiều $A = C^{t}C$ thì quá dễ cm mọi giá trị riêng không âm . Còn chiều ngược lại mình thử nhiều cách rồi mà chưa ra . Tìm trên mạng thì đa số chứng minh là sai .
P/s : Hơn nữa cũng nên phân biệt nó với định thức con góc chính . Tức là phát biểu của positive definite chỉ cần định thức con chính góc trái dương . Còn bài này cần tất cả các định thức con chính không âm .
Phản ví dụ : $f(x_{1},x_{2})=-x_{2}^{2}$ .
Do sách ghi nhầm đề mình lúc đầu hiểu là các định thức con góc chính . Bây giờ sửa lại thì có thể dùng bài này và kết hợp quy tắc dấu Decartes suy ra mọi nghiệm của nó không âm , tương đương xác định không âm . Xác định không âm hiển nhiên có form $C^{t}C$ . Tuy nhiên mình cũng rất khuyến khích bạn nào đó cách dùng quy nạp ở đây .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 27-07-2017 - 13:02
