Chủ đề này có 1 trả lời

[OldMemories]

Trên mặt phẳng cho một số điểm được tô màu xanh và một số điểm được tô màu đỏ sao cho khoảng cách giữa $2$ điểm bất kỳ không vượt quá $1$ . Cmr có 1 hình tròn bán kính $\frac{1}{\sqrt{2}}$ chứa tất cả các điểm màu đỏ hoặc chứa tất cả các điểm màu xanh .

[trieutuyennham]

Gọi (O;R) là đường tròn có bán kính nhỏ nhất chứa tất cả các điểm màu đỏ 

       (O^';R^') là đường tròn cá bán kính nhỏ nhất chứa tất cả các điểm màu xanh

Không mất tổng quát giả sử $R< R^{'}$

Khi đó tất cả các điểm màu xanh không thể nằm trong (O;R) (vì nếu tất cả các điểm màu xanh nằm trong (O;R) thì sẽ tồn tại 1 đường tròn có bán kính nhỏ hơn R^' chứa tất cả các diểm màu xanh mâu thuẫn)

nên tồn tại 1 điểm A nằm trên biên hay bên ngoài (O)

Vẽ (A;1) cắt (O) tại B và C

Do khoảng cách của 2 điểm bất kỳ nhỏ hơn 1 nên tất cả các điểm màu đỏ đều thuộc phần chung của (O) và (A)

Ta sẽ cm $R\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

xét 2 trường hợp 

(A) đựng (O) 

Ta có $R\leq \frac{1}{2}< \frac{1}{\sqrt{2}}$

(A) cắt (O)

Gọi B và C là giao của (O) và (A)

Ta sẽ cm $R\leq \frac{1}{\sqrt{2}}$

Thật vậy nếu $R> \frac{1}{\sqrt{2}}$

ta có

$OA^{2}+OB^{2}> 1=AB^{2}$

$\Rightarrow \widehat{BOA}< 90^{0}\Rightarrow \widehat{BOC}< 180^{0}$

$\Rightarrow BC< 2R$

suy ra đường tròn bán kính $\frac{BC}{2}$ có bán kính nhỏ hơn R chứa tất cả các điểm màu đỏ

vô lý

suy ra đpcm