Đến nội dung


Chú ý

Nếu các bạn đăng kí thành viên mà không nhận được email kích hoạt thì hãy kiểm tra thùng thư rác (spam). Nếu không biết cách truy cập vào thùng thư rác thì các bạn chịu khó Google hoặc đăng câu hỏi vào mục Hướng dẫn - Trợ giúp để thành viên khác có thể hỗ trợ.


Hình ảnh
- - - - -

$a_{n}=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

Oo Nguyen Hoang Nguyen oO

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 356 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đồng Nai
  • Sở thích:Làm toán

Đã gửi 29-07-2017 - 19:25

1) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ($a_{n}$) với $a_{n}=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$

b) ($b_{n}$) với $b_{n}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}$

 

2) Chứng tỏ dãy ($c_{n}$) với $c_{n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ là dãy số tăng và bị chặn.


Số hoàn hảo giống như người hoàn hảo, rất hiếm có.

Perfect numbers like perfect men, are very rare.

Rene Descartes

TỰ HÀO LÀ THÀNH VIÊN $\sqrt{MF}$

:icon6: :icon6: :icon6:


#2 Element hero Neos

Element hero Neos

    Trung úy

  • Thành viên
  • 943 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 29-07-2017 - 20:53

1) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ($a_{n}$) với $a_{n}=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$

b) ($b_{n}$) với $b_{n}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}$

 

2) Chứng tỏ dãy ($c_{n}$) với $c_{n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ là dãy số tăng và bị chặn.

Bài 1.

a) Dễ thấy $\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}>0,\forall n$, suy ra $a_n>0,\forall n$

Ta chứng minh $a_n<1,\forall n$ bằng biến đổi tương đương

$\sqrt[3]{n+1}<\sqrt[3]{n}+1\Leftrightarrow n+1<n+\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n}+1\Leftrightarrow 0<\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n}$

Suy ra $a_n<1,\forall n$

Vậy ...

b) Dễ thấy $b_n>1, \forall n$

Mà ta lại có $b_n=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}<1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<2$

Suy ra $b_n<2,\forall n$ 

Vậy ...

Bài 2.

Ta có $c_{n+1}-c_n=\frac{1}{(n+1)^2}>0$, suy ra $c_{n+1}>c_n$, suy ra $c_n$ là dãy tăng

Mặt khác lại có $c_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}<2$

và $c_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}>1$

Do đó $c_n$ bị chặn

Vậy ta có đpcm.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 29-07-2017 - 21:03


#3 An Infinitesimal

An Infinitesimal

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1811 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:cù lao
  • Sở thích:~.*

Đã gửi 01-09-2017 - 23:45

1) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ($a_{n}$) với $a_{n}=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$

b) ($b_{n}$) với $b_{n}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}$

 

2) Chứng tỏ dãy ($c_{n}$) với $c_{n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ là dãy số tăng và bị chặn.

 

Chỉ góp cách xử lý 1a)
$a_n= \frac{1}{\sqrt[n]{(n+1)^2}+\sqrt[n]{(n+1)n}+\sqrt[n]{n^2}} \in (0,1/3]\, \forall n\in \mathbb{N}.$


Đời người là một hành trình...





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh