1) Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
a) ($a_{n}$) với $a_{n}=\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}$
b) ($b_{n}$) với $b_{n}=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}$
2) Chứng tỏ dãy ($c_{n}$) với $c_{n}=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}$ là dãy số tăng và bị chặn.
Bài 1.
a) Dễ thấy $\sqrt[3]{n+1}-\sqrt[3]{n}>0,\forall n$, suy ra $a_n>0,\forall n$
Ta chứng minh $a_n<1,\forall n$ bằng biến đổi tương đương
$\sqrt[3]{n+1}<\sqrt[3]{n}+1\Leftrightarrow n+1<n+\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n}+1\Leftrightarrow 0<\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{n}$
Suy ra $a_n<1,\forall n$
Vậy ...
b) Dễ thấy $b_n>1, \forall n$
Mà ta lại có $b_n=1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{n^3}<1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<2$
Suy ra $b_n<2,\forall n$
Vậy ...
Bài 2.
Ta có $c_{n+1}-c_n=\frac{1}{(n+1)^2}>0$, suy ra $c_{n+1}>c_n$, suy ra $c_n$ là dãy tăng
Mặt khác lại có $c_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}<1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{(n-1)n}=2-\frac{1}{n}<2$
và $c_n=1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{n^2}>1$
Do đó $c_n$ bị chặn
Vậy ta có đpcm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Element hero Neos: 29-07-2017 - 21:03