Đến nội dung

Hình ảnh

$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$

* * * * - 3 Bình chọn

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1
I Love MT

I Love MT

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 2 Bài viết
Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$
Trịnh Đình Triển (Dinh De Tai) nhờ mình post bài này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi I Love MT: 30-07-2017 - 17:44


#2
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

Cho $a,b,c >0$ thỏa $a+b+c=3$. Chứng minh rằng
$$ \sum_{cyc} \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}} \geq \dfrac{3}{2}$$
Trịnh Đình Triển (Dinh De Tai) nhờ mình post bài này.

 

Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có

\[\left(\sum \sqrt{ \dfrac{a}{3b^{2}+1}}\right)^2 \sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3 \geqslant \left[\sum a(a+b+3c)\right]^3.\]

Như vậy ta cần chứng minh

\[\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3 \geqslant \frac94\sum a^2(3b^2+1)(a+b+3c)^3,\]

hay là

\[\frac13\left[\sum a(a+b+3c)\right]^3(a+b+c) \geqslant \frac94\sum a^2\left[3b^2+\frac19(a+b+c)^2\right] (a+b+3c)^3,\]

\[\begin{aligned}\sum \frac{1}{132}a\left[11a^6+11(37b+19c)a^5+2(127b^2+2178bc+165c^2)a^4+308c^3a^3+440c^4a^2+7c^4(735b+58c)a\\+b^2c^2(2709b^2+7898bc+7788c^2)-30261ab^2c^3\right]  \geqslant  0.\end{aligned}\]

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo bất đẳng thức AM-GM suy rộng.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport

#3
AnhTran2911

AnhTran2911

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 230 Bài viết

Không có cách khác à


        AQ02

                                 


#4
tuaneee111

tuaneee111

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 174 Bài viết

Anh Huyện siêu thật


$$\boxed{\boxed{I\heartsuit MATHEMATICAL}}$$

Blog của tôi

:luoi: Sức hấp dẫn của toán học mãnh liệt đến nỗi tôi bắt đầu sao nhãng các môn học khác - Sofia Vasilyevna Kovalevskaya :lol:


#5
thuthienhan

thuthienhan

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 1 Bài viết

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3



#6
Mr Cooper

Mr Cooper

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 496 Bài viết

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

Phần mềm Mapple 



#7
Nguyenhuyen_AG

Nguyenhuyen_AG

    Trung úy

  • Thành viên nổi bật 2016
  • 945 Bài viết

anh dùng phần mềm gì phân tích cái cuối thế ạ, cho em xin link tải với :3

 

Anh dùng Maple để tách hệ số, nhưng phải có code riêng do anh viết mới phân tích được như thế chứ maple thuần túy không làm được.


Nguyen Van Huyen
Ho Chi Minh City University Of Transport




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh