Đến nội dung


Hình ảnh

Tuần 1 tháng 8/2017: $AU,BV,CW$ đồng quy


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 JUV

JUV

    Trung sĩ

  • Điều hành viên OLYMPIC
  • 131 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Nam Định
  • Sở thích:Manga, Music

Đã gửi 30-07-2017 - 19:45

Như vậy lời giải cho hai bài Tuần 3 tháng 7/2017 đã được đưa tại đây kèm theo đó là hai bài toán mới của thầy Trần Quang Hùng và thầy Nguyễn Minh Hà. Xin được trích dẫn lại hai bài toán:

Bài 1: (Thầy Trần Quang Hùng) Cho tam giác $ABC$ có điểm $Lemoine$ $L$.$X,Y,Z$ lần lượt nằm trên $LA,LB,LC$ sao cho $YZ,ZX,XY$ lần lượt song song với $BC,CA,AB$. $BZ$ cắt $CY$ tại $D$, $CX$ cắt $AZ$ tại $E$, $AY$ căt $BX$ tại $F$. $U,V,W$ lần lượt đẳng giác với $D,E,F$ trong $LBC,LCA,LAB$. Chứng minh $AU,BV,CW$ đồng quy.

Hình vẽ:  

SUp0Qp8.png

Bài 2: (Thầy Nguyễn Minh Hà) Cho tam giác $ABC$ không đều, $L$ là điểm $Lemoine$. Đường đối trung từ $L$ của $LBC,LCA,LAB$ theo thứ tự cắt lại $(LBC),(LCA),(LAB)$ tại $D,E,F$, Chứng minh $AD,BE,CF$ đồng quy tại $1$ điểm thuộc đường thẳng $Euler$ của $ABC$

Hình vẽ : IjWwPqP.png



#2 dogsteven

dogsteven

    Đại úy

  • Thành viên
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Chuyên toán Trần Hưng Đạo, Bình Thuận
  • Sở thích:Anti số học.

Đã gửi 30-07-2017 - 23:10

Bài 1. Đặt $\dfrac{LX}{XA}=k, d=AL, e=BL, z=CL$. Khi đó $\dfrac{1}{k}\vec{LD}+\vec{BD}+\vec{CD}=\vec{0}$

Do đó mà $ka^2\vec{LU}+f^2\vec{BU}+e^2\vec{CU}=\vec{0}$

Như vậy:

$\vec{BU}=\dfrac{(ka^2+e^2)\vec{BL}-e^2\vec{CL}}{ka^2+e^2+f^2}$

$\vec{CU}=\dfrac{(ka^2+f^2)\vec{CL}-f^2\vec{BL}}{ka^2+e^2+f^2}$

$\vec{AU}=\vec{AL}+\vec{LU}=\dfrac{-b^2\vec{BL}-c^2\vec{CL}}{a^2}+\dfrac{-f^2\vec{BL}-e^2\vec{CL}}{ka^2+e^2+f^2}$

Ta sẽ tìm $y,z$ thỏa mãn: $\vec{AU}+y\vec{BU}+z\vec{CU}=\vec{0}$ hay

$\dfrac{-b^2}{a^2}+\dfrac{y(ka^2+e^2)-(z+1)f^2}{ka^2+e^2+f^2}=-\dfrac{c^2}{a^2}+\dfrac{z(ka^2+f^2)-(y+1)e^2}{ka^2+e^2+f^2}=0$

Do đó $y=\dfrac{ka^2b^2+f^2(a^2+b^2+c^2)}{ka^4}, z=\dfrac{ka^2c^2+e^2(a^2+b^2+c^2)}{ka^4}$

Mà $a^2\vec{AL}+b^2\vec{BL}+c^2\vec{CL}=\vec{0}$ nên

$2c^2a^2-(a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2)=e^2(a^2+b^2+c^2)$ và $2a^2b^2-(a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2)=f^2(a^2+b^2+c^2)$

Do đó $\dfrac{y}{z}=\dfrac{(k+2)a^2b^2-(a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2)}{(k+2)c^2a^2-(a^2d^2+b^2e^2+c^2f^2)}$

Tương tự với các cạnh còn lại và áp dụng định lý Ceva cho ta điều phải chứng minh.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dogsteven: 30-07-2017 - 23:10

Quyết tâm off dài dài cày hình, số, tổ, rời rạc.





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh