Chủ đề này có 1 trả lời

[WhjteShadow]

Cho $f \colon [a,b] \to \mathbb{R}$ khả vi cấp 2 và $f'(a) = f'(b) = 0$. Chứng minh rằng tồn tại $c\in (a,b)$ để

\[ |f''(c)| \geq \dfrac{4}{(b-a)^2} |f(b) -f(a)|. \]

[nthkhnimqt]

Khai triển Taylor ta có

\[f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) = f\left( a \right) + \frac{{{f^{\prime \prime }}\left( {{x_1}} \right)}}{2}{\left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)^2},f\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right) = f\left( b \right) + \frac{{{f^{\prime \prime }}\left( {{x_2}} \right)}}{2}{\left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)^2}\]

Với ${x_1} \in \left( {a,\frac{{a + b}}{2}} \right),{x_2} \in \left( {\frac{{a + b}}{2},b} \right)$ do đó ta có

\[\left| {f\left( b \right) - f\left( a \right)} \right| = {\left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)^2}\frac{{\left| {{f^{\prime \prime }}\left( {{x_2}} \right) - {f^{\prime \prime }}\left( {{x_1}} \right)} \right|}}{2} \leqslant {\left( {\frac{{b - a}}{2}} \right)^2}\max \left\{ {\left| {{f^{\prime \prime }}\left( {{x_2}} \right)} \right|,\left| {{f^{\prime \prime }}\left( {{x_1}} \right)} \right|} \right\} = \frac{{{{\left( {b - a} \right)}^2}}}{4}\left| {{f^{\prime \prime }}\left( c \right)} \right|\]

Nhân ngược hệ số lên ta có đpcm.