Chủ đề này có 13 trả lời

[viethoang2002]

đề trại hè hùng vương 2017 ( xin lỗi mấy anh quản trị mình mới lập topic lần đầu nên có thể bị lỗi tiêu đề hoặc mấy lỗi lung tung gì đó )

nguồn : facebook

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viethoang2002: 31-07-2017 - 13:05

[viethoang2002]

Hmm... em xin chém câu cuối 

tổng các số $\geq 10$ là 2025-10+1=2016

tổng 2 số bất kì trong 2016 số này đều $\geq 21$

do đó n phải $\geq 2016$

với n = 2016 ta chọn các số từ 1 đến 10 , các số từ 20 đến 2025 , thì không xảy ra trường hợp nào để 2 phần tử có tổng là 20

do đó n $\geq 2017$ xét n =2017 sẽ có ít nhất 11 số nằm trong khoảng từ 1 đến 19 

viết 11 thành 20-9 ; 12 = 20-8 ,...19=20-1

ta viết từng cặp tương ứng ( 20-9;9);(20-8;8);...(20-1;1) và số 10 lẻ ra

TH1:không có số 10: tổng cộng có 9 cặp , mà có 11 số nên tồn tại ít nhất 2 số ở trong 1 cặp ♥ xong TH này

TH2: trong 11 số đó có số 10: còn lại 10 số mà cũng có 9 cặp→...

Bài toán được giải quyết xong số nhỏ nhất cần tìm là 2017

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi viethoang2002: 31-07-2017 - 13:55

[longnguyentan2002]

[longnguyentan2002]

 

a) $\angle AKP = \angle PAC = \angle PLB$ (vì AC là tiếp tuyến của (O1) và tứ giác APLC nội tiếp)

=> AK là tiếp tuyến của đường tròn (S)

Tương tự => đpcm

 

b) Ta có AB là tiếp tuyến của (O2) => $\angle EAL = \angle ACL = \angle QPL = \angle QKL$

(do APLC nội tiếp và 2 góc QPL, QKL cùng chắn cung QL)

 

Do đó: K,L,A,E cùng thuộc đường tròn

Tương tự => A,K,L,E,F cùng thuộc đường tròn (1)

 

Đã có AK, AL là tiếp tuyến của (S) => A, K, L, S cùng thuộc 1 đường tròn (2)

Từ (1)và (2) suy ra đpcm

[Duy Thai2002]

Ta có:

f(m)=$m^{4}+2m^{3}+nm+p$,$f(n)=n^{4}+n^{3}+mn^{2}+n^{2}+p$

Mà $f(m)=m^{4}+m^{3},f(n)=n^{4}+n^{3}$

=> $\left\{\begin{matrix}m^{3}+nm+p=0 & \\n^{2}+n^{2}m+p=0 & \end{matrix}\right.$

Trừ vế theo vế của hpt,ta được: $m^{3}+nm-n^{2}m-n^{2}=0$

<=> (m-n)($m^{2}+mn+n)=0$

Nếu m=n

$m^{3}+m^{2}+p=0$ 

[Mr Cooper]

a) $\angle ALP = \angle PCA = \angle PAB = \angle PKL$

 $AL$ tiếp xúc với $(S)$

CMTT: $AK$ tiếp xúc với $(S)$

b) $\angle PQL = \angle PKL = \angle BAP$ hay $\angle AQF = \angle BAQ \Rightarrow AB \parallel QF$

$ \angle BEK = \angle KQL = \angle ALK$

 $\Rightarrow$ $A,E,K,L$ cùng thuộc $1$ đường tròn

CMTT: $A,F,K,L$ cùng thuộc $1$ đường tròn

$\angle AKS + \angle ALS = 180^{\circ} $ $\Rightarrow$ $A,K,S,L$ cùng thuộc $1$ đường tròn

Vậy $A,K,L,S,E,F$ cùng thuộc $1$ đường tròn

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Mr Cooper: 31-07-2017 - 17:04

[longnguyentan2002]

câu 3   tận đến h mới có wifi để up    

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi longnguyentan2002: 31-07-2017 - 22:11

[Abongsociu]

Câu 3 mình có một cách từ đoạn m^2 + mn + n =0 là m^2 - 1 + mn + n = -1 từ đó rút nhân tử chung, tạo thành phương trình tích và tìm nghiệm nguyên bình thường

[Abongsociu]

Câu cuối mình có một cách...ý đồ ban đầu mà chọn hết những số mà trong các số đó, chắc chắn không thể chọn ra cặp U và V thỏa mãn. Có 2025 - 18 = 2007 số như thế. Vậy bây giờ chỉ còn thiếu cặp U V. Trong số 18 số đó, có 9 cặp U V thỏa mãn, vậy ta chỉ cần chọn 10 số là bao giờ cũng có U V. Vậy số n nhỏ nhất để thỏa mãn đề bài là 2017 + 10 = 2017.( đọc qua có vẻ dài nhưng thực ra nếu hiểu thì sẽ thấy tư duy rất đơn giản và ngắn gọn,2 bước, nhưng mình cố gắng viết thật rõ để m.n hiểu nên thành dài )

[k4x]

Lời giải của mình cho bài 4 

Trường hợp $a=b$ dễ dàng có $a=b=1$

xét trường hợp $a \neq b$ và cũng từ $ii)$ ta suy ra $a >b$

Hình gửi kèm

• 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 02-08-2017 - 14:56

[Kamii0909]

Bài 4.
$a+b^2 \mid a^2+b$ nên $a \geq b$ 

$a=b$ thì $2 \mid a(a+1)$, do đó $2^x=a(a+1)$
Nếu $a\geq 2$ thì $a(a+1)$ sẽ có ước khác 2(vô lý)
Vậy $a=b=1$
Xét $a > b \geq 1$
$a+b^2 \mid a^2+b$
$\Leftrightarrow a+b^2 \mid a(a+b^2)-b(ab-1)$
Mà $(a,ab-1)=1$ nên $a+b^2 \mid b(a+b^2)-b^3-1$
Hay $p^x=a+b^2 \mid (b+1)(b^2-b+1)$
Dễ thấy $a+b^2 >b+1$ và $a+b^2>b^2-b+1$ nên $p|(b+1,b^2-b+1)$
Từ đó có $p=3$
Mà $9 \nmid b^2-b+1$ nên $3^{x-1} \mid b+1$
$\Rightarrow b \geq 3^{x-1}-1 = \dfrac{a+b^2}{3} -1$
Hiển nhiên điều này sai với $b \geq 3$, mà $3^{x-1} \mid b+1$ nên $b=2, a=5$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kamii0909: 03-08-2017 - 00:24

[k4x]

cách này mình đã post thì bạn/anh/chị post lại làm gì nữa

 

Dễ thấy $a+b^2 >b+1$ và $a+b^2>b^2-b+1$ nên $p|(b+1,b^2-b+1)$
Từ đó có $p=3$

$\Rightarrow b \geq 3^{x-1}-1 = \dfrac{a+b^2}{3} -1$

$p$ chỉ có max là $(b+1,b^2-b+1)$ và k có điều kiện gì để suy ra được nó là ước cả , cho nên xét thiếu $p=2$ r kìa 

chọn $b=3$ và $a=1$ thì $b=3 \geq \frac{a+b^2}{3}-1=\frac{7}{3}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi k4x: 03-08-2017 - 10:14

[Kamii0909]

cách này mình đã post thì bạn/anh/chị post lại làm gì nữa

$p$ chỉ có max là $(b+1,b^2-b+1)$ và k có điều kiện gì để suy ra được nó là ước cả , cho nên xét thiếu $p=2$ r kìa 

chọn $b=3$ và $a=1$ thì $b=3 \geq \frac{a+b^2}{3}-1=\frac{7}{3}$

$2 \nmid b(b-1)+1$
$a>b$

[minhhuy14022003]

Làm thử câu 3 nhé

Ta có:

f(m)=m4+2m3+nm+pm4+2m3+nm+p

f(n)=n4+n3+mn2+n2+pf(n)=n4+n3+mn2+n2+p

Vì

f(m)=m4+m3,

 

 

f(n)=n4+n3f(m)=m4+m3,f(n)=n4+n3

=> {m3+nm+p=0n2+n2m+p=0{m3+nm+p=0n2+n2m+p=0

Trừ vế theo vế

ta được: m3+nm−n2m−n2=0m3+nm−n2m−n2=0

<=> (m-n)(m2+mn+n)=0m2+mn+n)=0

Nếu m=n

m3+m2+p=0m3+m2+p=0