Tìm các đa thức thỏa mãn:
$$Q\left ( x^{2} \right )= Q\left ( x \right )^{2}$$
Tìm các đa thức thỏa mãn: $$Q\left ( x^{2} \right )= Q\left ( x \right )^{2}$$
Bắt đầu bởi Maytroi, 02-08-2017 - 15:19
#2
Đã gửi 02-08-2017 - 16:42
Duy Thai2002
-
- Thành viên
-
- 433 Bài viết
Sĩ quan
Q(x)=$x^{n}$
Sự khác biệt giữa thiên tài và kẻ ngu dốt là ở chỗ thiên tài luôn có giới hạn.
#3
Đã gửi 03-08-2017 - 13:45
An Infinitesimal
-
- Thành viên
-
- 1803 Bài viết
Đại úy
Q(x)=$x^{n}$
Bình luận đầy "tâm huyết"!!!
Bài toán này có nhiều hướng tiếp cận:
1/ Đồng nhất;
2/ Dùng tính nhân tính của kết quả. Sự tồn tại duy nhất đa thức nếu cho trước bậc và hệ số cao nhất của của đa thức.
Mình thử tìm hướng khác hai hướng trên.
1/ Tìm các đa thức hằng.
Đa thức $0$ và đa thức $1$ là nghiệm của PT hàm.
2/ Tìm các đa thức có $P(0)\neq 0.$
$P(x)=1$ là một nghiệm của PT hàm trong trường hợp này.
Tìm các nghiệm $$P(x)\not \equiv 1$.
Suy ra $P(0)=1.$ Do đó, tồn tại số nguyên không âm $t$ sao cho $P(x)=x^tG(x)+1$, trong đó $G(0)\neq 0$.
Thay vào đồng nhất, ta thu được
\[x^{t}G(x^2)=x^{t}[G(x)]^2+2G(x).\]Suy ra $G(0)=0$ (vô lý).
Do đó chỉ có đúng một nghiệm của PT hàm thỏa $P(0)\neq 0$ là $P(x)\equiv 1.$
3/ Tìm các đa thức có $P(0)=0.$
Do đó, tồn tại số nguyên không âm $s$ sao cho $P(x)=x^sQ(x), trong đó Q(0)\neq 0.$ Khi đó $Q(x^2)=[Q(x)]^2.$
Bài toán tìm $Q$ qui về bài toán ở 2/. Suy ra $Q(x)\equiv 1.$
Vì thế PT hàm đa thức chỉ có các nghiệm: $0, 1, x^n$ với $n$ là số nguyên dương bất kỳ.
- Maytroi, Element hero Neos và NTL2k1 thích
Đời người là một hành trình...
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
