Giả sử $p,q$ là hai số nguyên tố và một nhóm $G$ có cấp $pq$ . Chứng minh $G$ là nhóm cyclic hoặc chứa một phần tử cấp $p$ ( hoặc $q$ ) . Trong trường hợp thứ hai chứng minh $G$ chứa một nhóm con chuẩn tắc cấp $p$ hoặc nếu không nó sẽ chứa $q$ nhóm con liên hợp cấp $p$ mà giao nhau bằng đơn vị . Khi đó chứng minh $q-1$ phần tử còn lại hợp với đơn vị tạo thành một nhóm con chuẩn tắc của $G$
Bài này mình khá là không xử lý được ổn ( theo ý mình ) nhưng cứ post giải bạn nào có giải khác mình xem với .
Trước hết mình chỉ sử dụng hai bổ đề là định lý Lagrange và một nhóm cấp nguyên tố thì là nhóm cyclic . Như vậy ta xét cấp tất cả các phần tử trong $G$ , theo Lagrange nó chỉ thuộc ba loại $1,p,q,pq$ . Với phần tử $a \neq e$ thì có cấp $p,q,pq$ . Nếu có cấp $pq$ thì $G$ là cyclic .
Không giảm tính tổng quát giả sử tồn tại phần tử $u$ có cấp $p$ và gọi :
$$H = \left \{ u^{m} | m \in Z \right \}$$
Bây giờ nếu trong $G$ chứa một nhóm con chuẩn tắc cấp $p$ thì xong , nếu không giả sử mọi nhóm cấp $p$ trong $G$ đều không chuẩn tắc . Nói riêng tâm của $G$ :
$$Z(G) = \left \{ a \in G | ax = xa \forall x \in G \right \}$$
Chỉ có cấp $1,q$ .
Xét quan hệ tương đương $x \sim y <=> xHx^{-1} = yHy^{-1}$ ( đây là quan hệ tđ có thể ktra dễ dàng ) do đó $(y^{-1}x)H(y^{-1}x)^{-1} = H$ . Xét nhóm chuẩn hóa của $H$ trong $G$ :
$$N_{G}(H) = \left \{g \in G | gHg^{-1} \subset H \right \}$$
Lưu ý rằng do $gHg^{-1} \subset H$ thì do hai nhóm cùng cấp $p$ nên bằng nhau luôn
Do $H$ không chuẩn tắc ( vì $H$ cấp $p$ ) nên $N_{G}(H) \neq G$ và $H \subset N_{G}(H)$ nên cấp của $N_{G}(H) = p$ ( trái lại giả sử bằng $q$ thì $p=q$ vẫn vậy ) . Do đó $N_{G}(H) = H$ . Quan hệ tương đương đã định nghĩa thì $x \sim y <=> y^{-1}x \in N_{G}(H) = H$ tức là với mọi $x$ thì lớp tương đương $[x]$ chứa đúng $p$ phần tử là $xH$
Nên $G$ có thể phân tích thành :
$$G = \left \{ a_{1},...a_{q-1} \right \} \cup x_{0}Hx_{0}^{-1}...x_{q-1}Hx_{q-1}^{-1}$$
Trong đó $a_{i}$ không nằm trong $x_{j}Hx_{j}^{-1}$ với mọi $0 \leq i,j \leq q-1$ . Đặt $\left \{ a_{i} \right \} = K$ ta chứng minh $K \cup e $ là nhóm con chuẩn tắc cấp $q$ . Ta tiếp tục xét hai tập quan trọng sau :
$$Cl(a) = \left \{ gag^{-1} | g \in G \right \}$$
$$C_{G}(a) = \left \{ g \in G | gag^{-1}=a \right \}$$
Gọi là lớp liên hợp và nhóm chuẩn hóa của $a$ , khi đó ta thấy :
$$|Cl(a)| = | G : C_{G}(a) |$$
Với mỗi $a \in K$ xét $Cl(a) \cap G = Cl(a) = Cl(a) \cap K$ do nếu $Cl(a) \cap xHx^{-1} = t$ nào đó thì $a$ là liên hợp của một phần tử nào đó thuộc $H$ điều này vô lý theo định nghĩa của $K$ như vậy ta thấy $Cl(a) \subset K => |Cl(a)| \leq q-1 < q$ .
Như vậy chỉ xảy ra hai trường hợp $Cl(a)=1$ hoặc $|Cl(a)| = p$ trong TH thứ hai còn có thêm $p < q$ khi đó hoặc là $C_{G}(a) = G => a \in Z(G) => |Z(G)|>1$ ( nếu $Z(G) \neq e$ thì nó có cấp $p$ hoặc $q$ nhưng không thể là $p$ theo giả thiết không có nhóm con chuẩn tắc cấp $p$ ) hoặc là $C_{G}(a) = q$ ( khi này $a$ có cấp $q$ )
Như thế chỉ cần xét trường hợp tất cả phần tử của $K$ có cấp là $q$ , và $Z(G)$ phải có cấp $q$ hoặc là $1$ . Nếu $Z(G)$ cấp $q$ thì $Z(G) = K \cup e$ chuẩn tắc . Như vậy TH duy nhất là $Z(G) = 1$ và mọi phần tử của $K$ có cấp $q$ , ta làm mạnh TH này 1 chút . Thật vậy ta có công thức :
$$|G| = 1 + \sum |G : C_{G}(x)|$$
Trong đó $x$ lấy trên tất cả $|G : C_{G}(x)| = | Cl(x) | > 1$ , thấy $|Cl(a)| = p < q $ với mọi $a \in K$ và một phần tử trong $K$ không liên hợp với ptu , giờ xét $a \in G - K$ tức là có dạng $xh^{k}x^{-1} = b \neq e$ ,ta thấy $C_{G}(b)$ có cấp là $p$ do bản thân $b$ có cấp $p$ suy ra $|Cl(b)|=q$ , vậy tổng trên tách được thành
$$pq = 1 + pn+qm$$
Trong đó $n \neq (q-1)$ còn ở đây với mỗi lớp liên hợp $[b] , b \in G-K$ có $q$ phần tử , dĩ nhiên $|G - K| = q(p-1)+1$ bỏ phần tử $e$ thì suy ra $m=p-1$ do đó .
$pq - 1 - q(p-1) = pn => q-1 = pn$
Đây chỉ là kết quả làm mạnh trong TH này , thực tế tập $K \cup e$ sẽ trùng với một nhóm $C_{G}(a)$ cấp $q$ nào đó ( do mọi ptu trong $K$ cấp $q$ ) , và $K \cup e$ chính là nhóm nhỏ nhất chứa $q-1$ phần tử cấp $q$ của $G$ ( các ptu thuộc $G - K$ đều có cấp $p$ ) . Vậy $ K \cup e = C_{G}(a)$
-_-Hình như mình đang đi tìm group order $pq$ chứ không phải tìm nhóm chuẩn tắc . Đến đây thì có thể nếu $p | q-1$ có đúng hai nhóm cấp $pq$ là $Z / pq$ và tích nửa trực tiếp $Z_{p}$ và $Z_{q}$ ( tích này xác định duy nhất không phụ thuộc đẳng cấu $\sigma : Z_{p} \to \mathbb{Aut}(Z/q)$ )
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 03-08-2017 - 21:02
